Maths · Terminale · Analyse
Calcul intégral
Une aire, une primitive, une moyenne.
En bref
L’intégrale est le seul objet du programme à être à la fois géométrique (une aire), analytique (une primitive) et statistique (une moyenne).
La définition géométrique
Pour f continue et positive, l’intégrale de a à b est l’aire, en unités d’aire, du domaine compris entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites x = a et x = b.
Quand f est négative, l’intégrale est l’opposé de l’aire. Une intégrale n’est donc pas une aire en général : c’est une aire algébrique.
Le théorème fondamental
Si F est une primitive de f :
∫ de a à b de f(x) dx = F(b) − F(a)
C’est le résultat qui relie les deux visages de l’objet : calculer une aire revient à trouver une primitive. Le résultat ne dépend pas de la primitive choisie, la constante s’éliminant dans la différence.
Les propriétés
| Propriété | Ce qu’elle dit |
|---|---|
| Linéarité | L’intégrale d’une somme est la somme des intégrales ; une constante sort |
| Relation de Chasles | De a à b, plus de b à c, égale de a à c |
| Inversion des bornes | Échanger a et b change le signe |
| Positivité | Si f est positive et a inférieur à b, l’intégrale est positive |
| Croissance | Si f est inférieure à g, son intégrale l’est aussi — l’outil des encadrements |
La valeur moyenne
(1 / (b − a)) × ∫ de a à b de f(x) dx
Interprétation : la hauteur du rectangle de base [a ; b] qui aurait la même aire que le domaine sous la courbe. Elle sert en physique (valeur moyenne d’un signal) et en probabilités.
L’aire entre deux courbes
Pour f au-dessus de g, l’aire vaut l’intégrale de (f − g).
Il faut donc déterminer laquelle est au-dessus avant de calculer — et découper l’intervalle si les courbes se croisent.
L’intégration par parties
∫ u′v = [uv] − ∫ u v′
| Quand l’employer | Exemples |
|---|---|
| L’intégrande est un produit dont un facteur se simplifie en dérivant | x e^x, x cos x |
| Ou dont un facteur n’a pas de primitive simple | ln x, en posant v = ln x et u′ = 1 |
Les valeurs approchées
Quand aucune primitive ne s’exprime simplement : méthode des rectangles ou des trapèzes, en découpant en n intervalles. La précision croît avec n.
Le fil du chapitre : dériver et intégrer sont deux opérations inverses. C’est le théorème fondamental qui l’énonce, et tout le calcul intégral en découle.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Que vaut l’intégrale de a à b de f, si F est une primitive de f ?
2.Une intégrale est-elle toujours positive ?
3.Que dit la relation de Chasles pour les intégrales ?
4.Comment calcule-t-on la valeur moyenne de f sur [a ; b] ?
5.Quelle est la formule de l’intégration par parties ?
6.Comment calcule-t-on l’aire entre deux courbes sur [a ; b] ?
0 / 6 questions
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