Physique-chimie et mathématiques (STI2D · STL) · Terminale · Mathématiques — Analyse
Exponentielle et logarithme népérien
Deux fonctions réciproques.
En bref
Décharge d’un condensateur, refroidissement, radioactivité : la nature adore la fonction exponentielle.
Décharge d’un condensateur, refroidissement, radioactivité : la nature adore la fonction exponentielle. Et pour retrouver un temps à partir d’une valeur, on a besoin de sa réciproque, le logarithme népérien.
La fonction exponentielle
Parmi toutes les fonctions x ↦ aˣ (a > 0), une seule a une tangente de pente 1 en 0 : celle de base e ≈ 2,718 (le nombre d’Euler). On la note x ↦ eˣ, ou exp(x).
(eˣ)’ = eˣ et e⁰ = 1
- eˣ > 0 pour tout x : la fonction est strictement croissante.
- Limites : eˣ tend vers +∞ en +∞, et vers 0 en −∞ (l’axe des abscisses est asymptote).
Les règles de calcul
| La règle | Exemple |
|---|---|
| e^(a + b) = eᵃ × eᵇ | e^(x + 2) = e² × eˣ |
| e^(−a) = 1 / eᵃ | e^(−1) ≈ 0,368 |
| e^(a − b) = eᵃ / eᵇ | e⁵ / e³ = e² |
| (eᵃ)ⁿ = e^(n a) | (eˣ)³ = e^(3x) |
La fonction x ↦ e^(kx)
(e^(kx))’ = k × e^(kx)
Si k > 0, elle est croissante ; si k < 0, elle est décroissante et tend vers 0 : c’est le modèle des décroissances (e^(−0,1 t), e^(−λ t)).
Croissances comparées : en +∞, eˣ l’emporte sur toute puissance de x. eˣ / xⁿ tend vers +∞ et xⁿ × e^(−x) tend vers 0.
Exemple : f(x) = x e^(−x). f’(x) = e^(−x) − x e^(−x) = (1 − x) e^(−x), du signe de 1 − x : f croît jusqu’en 1, où elle vaut 1/e ≈ 0,37, puis décroît vers 0.
Le logarithme népérien
Pour a > 0, ln(a) est l’unique nombre x tel que eˣ = a.
e^(ln a) = a (a > 0) et ln(eˣ) = x
- ln 1 = 0 ; ln e = 1 ; ln n’est défini que pour a strictement positif.
- ln est strictement croissante : négative sur ]0 ; 1[, positive au-delà de 1.
- Limites : ln x tend vers −∞ quand x tend vers 0 (par valeurs positives), vers +∞ en +∞.
(ln x)’ = 1 / x
Les règles de calcul du logarithme
| La règle | Exemple |
|---|---|
| ln(a b) = ln a + ln b | ln 6 = ln 2 + ln 3 |
| ln(a / b) = ln a − ln b | ln(1/2) = −ln 2 |
| ln(aⁿ) = n ln a | ln 8 = 3 ln 2 |
| ln(√a) = ½ ln a | ln √e = ½ |
| ln(aˣ) = x ln a | ln(10ˣ) = x ln 10 |
Le logarithme décimal du tronc commun s’y relie : log x = ln x / ln 10.
ln(a + b) n’est pas ln a + ln b : le logarithme transforme les produits en sommes.
Résoudre des équations et des inéquations
- e^(3x) = 5 ⇔ 3x = ln 5 ⇔ x = ln 5 / 3 ≈ 0,54.
- ln x = 2 ⇔ x = e² ≈ 7,39.
- ln x > 1 ⇔ x > e (ln est croissante).
- e^(−0,2 x) > 0,5 ⇔ −0,2 x > ln 0,5 ⇔ x < ln 0,5 / (−0,2) ≈ 3,47. On divise par un nombre négatif : le sens de l’inégalité change.
Application : la demi-vie
Un nombre de noyaux N(t) = N0 e^(−λ t) est divisé par deux quand e^(−λ t) = ½, soit −λ t = ln(½) = −ln 2 :
t½ = ln 2 / λ
Avec λ = 0,1 par jour : t½ ≈ 0,693 / 0,1 ≈ 6,9 jours. Le même calcul sert au pH (logarithme décimal) et au niveau sonore.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Que vaut e⁰ ?
2.Quelle égalité est vraie pour tous réels a et b ?
3.Quelle est la dérivée de e^(3x) ?
4.Vers quoi tend eˣ quand x tend vers −∞ ?
5.Quelle est la solution de e^(3x) = 5 ?
6.À quoi est égal ln 8 ?
0 / 6 questions
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