Physique-chimie et mathématiques (STI2D · STL) · Terminale · Mathématiques — Analyse
Fonctions composées : dériver et primitiver
Une fonction dans une autre.
En bref
En physique, on rencontre sans cesse des fonctions « emboîtées » : sin(100π t), e^(−t/τ), (3x + 1)⁴.
En physique, on rencontre sans cesse des fonctions « emboîtées » : sin(100π t), e^(−t/τ), (3x + 1)⁴. Savoir les dériver et en trouver des primitives est l’outil de base de toute l’analyse de terminale.
La composée de deux fonctions
La composée de u suivie de v est la fonction notée v ∘ u :
(v ∘ u)(x) = v(u(x))
On calcule d’abord u(x), puis on applique v au résultat.
Exemple : h(x) = (3x + 1)⁴. On pose u(x) = 3x + 1 (fonction « intérieure ») et v(X) = X⁴ (fonction « extérieure ») : h = v ∘ u.
L’ordre compte : avec u(x) = x + 1 et v(x) = x², v(u(x)) = (x + 1)² mais u(v(x)) = x² + 1. En général, v ∘ u ≠ u ∘ v.
La dérivée d’une composée
(v ∘ u)’ = u’ × (v’ ∘ u), c’est-à-dire (v(u(x)))’ = u’(x) × v’(u(x))
On dérive la fonction extérieure en gardant l’intérieur, puis on multiplie par la dérivée de l’intérieur.
| La fonction | Sa dérivée |
|---|---|
| f(a x + b) | a × f’(a x + b) |
| uⁿ (n entier relatif) | n × u’ × uⁿ⁻¹ |
| √u | u’ / (2√u) |
| cos(u) | −u’ × sin(u) |
| sin(u) | u’ × cos(u) |
| e^u | u’ × e^u |
| ln(u) (u > 0) | u’ / u |
Exemples travaillés
- (x² + 1)³ : u’ = 2x, donc la dérivée vaut 3 × 2x × (x² + 1)² = 6x (x² + 1)².
- e^(−2t) : u’ = −2, donc la dérivée vaut −2 e^(−2t).
- sin(100π t) : u’ = 100π, donc la dérivée vaut 100π cos(100π t).
- ln(x² + 1) : la dérivée vaut 2x / (x² + 1).
- √(4x + 1) : la dérivée vaut 4 / (2√(4x + 1)) = 2 / √(4x + 1).
Le quotient s’y ramène aussi : u/v = u × (1/v), et (1/v)’ = −v’/v², d’où la formule (u’v − uv’)/v².
Les primitives qui s’en déduisent
On lit le tableau à l’envers : quand on reconnaît la forme « u’ × (quelque chose de u) », on trouve une primitive.
| La fonction | Une primitive |
|---|---|
| f(a x + b) | (1/a) × F(a x + b), si F est une primitive de f |
| u’ × uⁿ (n ≠ −1) | uⁿ⁺¹ / (n + 1) |
| u’ / u² | −1 / u |
| u’ / √u | 2√u |
| u’ / u (u > 0) | ln(u) |
| u’ × e^u | e^u |
| u’ × cos(u) | sin(u) |
| u’ × sin(u) | −cos(u) |
Exemples travaillés
- 2x (x² + 1)⁴ : c’est u’ × u⁴ avec u = x² + 1. Primitive : (x² + 1)⁵ / 5.
- x e^(x²) : il manque un facteur 2 pour avoir u’ e^u. On écrit x e^(x²) = ½ × 2x e^(x²). Primitive : ½ e^(x²).
- cos(2x + 1) : primitive ½ sin(2x + 1).
- 3 / (3x + 2), pour 3x + 2 > 0 : c’est u’/u. Primitive : ln(3x + 2).
Vérifie toujours une primitive en la dérivant : tu dois retrouver la fonction de départ.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Pour h(x) = (3x + 1)⁴ écrite v(u(x)), quelle est la fonction intérieure u ?
2.Quelle est la dérivée de (x² + 1)³ ?
3.Quelle est la dérivée de e^(−2t) ?
4.Quelle est la dérivée de sin(100π t) ?
5.Quelle est la dérivée de ln(x² + 1) ?
6.Pour toutes fonctions u et v, v ∘ u = u ∘ v.
0 / 6 questions
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