Physique-chimie et mathématiques (STI2D · STL) · Terminale · Mathématiques — Analyse
Intégrales et valeur moyenne
Une aire sous la courbe, une énergie.
En bref
Connaître la puissance d’une machine à chaque instant et vouloir l’énergie consommée ; connaître une vitesse et vouloir la distance parcourue : dans les deux cas, on cherche une aire sous une courbe.
Connaître la puissance d’une machine à chaque instant et vouloir l’énergie consommée ; connaître une vitesse et vouloir la distance parcourue : dans les deux cas, on cherche une aire sous une courbe. C’est ce que calcule l’intégrale.
Définition
Pour une fonction f positive sur [a ; b], l’intégrale de a à b de f, notée ∫ₐᵇ f(x) dx, est l’aire du domaine compris entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites x = a et x = b, en unités d’aire.
- Pour une fonction constante, c’est l’aire d’un rectangle : ∫ de 0 à 3 de 4 dx = 3 × 4 = 12.
- Pour une fonction affine, c’est l’aire d’un trapèze.
- Si f est négative, l’intégrale est l’opposé de l’aire (elle est négative). Si f change de signe, les aires au-dessus de l’axe comptent en plus, celles en dessous en moins.
- Si a > b, on pose : intégrale de a à b = − intégrale de b à a. Échanger les bornes change le signe.
La méthode des rectangles
On découpe [a ; b] en n bandes de largeur Δx = (b − a) / n et on additionne les aires f(xi) × Δx des rectangles. Plus n est grand, meilleure est l’approximation.
Exemple : f(x) = x² sur [0 ; 1], 4 rectangles à gauche : 0,25 × (0 + 0,0625 + 0,25 + 0,5625) ≈ 0,219. La valeur exacte est 1/3 ≈ 0,333 : les rectangles à gauche sous-estiment une fonction croissante. Un tableur ou un programme fait le calcul avec 1 000 rectangles en un instant.
Le lien avec les primitives
∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a), où F est une primitive de f
On écrit aussi [F(x)] entre a et b. La fonction x ↦ ∫ₐˣ f(t) dt est la primitive de f qui s’annule en a : sa dérivée est f.
Exemple : ∫ de 0 à 2 de (3x² + 1) dx. Primitive F(x) = x³ + x. F(2) − F(0) = 10 − 0 = 10.
Les propriétés
| La propriété | Énoncé |
|---|---|
| Linéarité | ∫(f + g) = ∫f + ∫g et ∫(k f) = k ∫f |
| Positivité | Si f ≥ 0 sur [a ; b] (a ≤ b), alors ∫ₐᵇ f ≥ 0 |
| Croissance | Si f ≤ g sur [a ; b], alors ∫ₐᵇ f ≤ ∫ₐᵇ g |
| Relation de Chasles | ∫ de a à c = ∫ de a à b + ∫ de b à c |
Valeur moyenne
μ = (1 / (b − a)) × ∫ₐᵇ f(x) dx
C’est la hauteur du rectangle de base [a ; b] qui a la même aire que le domaine sous la courbe.
Exemple : la valeur moyenne de 3x² + 1 sur [0 ; 2] vaut 10 / 2 = 5.
Aire entre deux courbes
Si f ≥ g sur [a ; b], l’aire entre les deux courbes vaut ∫ₐᵇ (f(x) − g(x)) dx.
Exemple : entre y = x et y = x² sur [0 ; 1] : ∫(x − x²) dx = 1/2 − 1/3 = 1/6.
En physique
| La grandeur connue | Son intégrale donne |
|---|---|
| Puissance P(t) | L’énergie mise en jeu : E = ∫ P(t) dt (car P = dE/dt) |
| Puissance instantanée p(t) sur une période | La puissance active = sa valeur moyenne |
| Vitesse v(t) | La distance parcourue |
Exemple : un moteur démarre avec P(t) = 500 t (W) pendant 4 s. E = ∫ de 0 à 4 de 500 t dt = [250 t²] = 4 000 J ; puissance moyenne : 4 000 / 4 = 1 000 W.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Pour une fonction positive sur [a ; b], que représente son intégrale de a à b ?
2.Combien vaut l’intégrale de 0 à 2 de (3x² + 1) dx ?
3.Combien vaut l’intégrale de 0 à 3 de la fonction constante 4 ?
4.Quelle est la valeur moyenne de 3x² + 1 sur [0 ; 2] ?
5.Que dit la relation de Chasles ?
6.Quelle est la valeur exacte de l’intégrale de 0 à 1 de x² dx ?
0 / 6 questions
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