Sciences de l'ingénieur · Terminale · Systèmes asservis
Le modèle du premier ordre
63 % à t = τ, 95 % à 3τ.
En bref
Un moteur qui démarre, une résistance qui chauffe, un condensateur qui se charge : ces systèmes n’ont rien en commun, et pourtant leurs courbes ont exactement la même forme.
Un moteur qui démarre, une résistance qui chauffe, un condensateur qui se charge : ces systèmes n’ont rien en commun, et pourtant leurs courbes ont exactement la même forme. C’est le premier ordre, le modèle le plus utilisé en SI.
La réponse à un échelon
On applique brusquement une entrée constante E0 (un échelon). La sortie monte sans dépasser, vite au début puis de plus en plus lentement :
s(t) = K × E0 × (1 − e^(−t/τ))
| Paramètre | Nom | Ce qu’il fixe |
|---|---|---|
| K | Gain statique | La valeur finale : s_final = K × E0 |
| τ | Constante de temps (en s) | La rapidité |
Les repères à connaître par cœur
| Instant | Part de la valeur finale atteinte |
|---|---|
| t = τ | 63 % |
| t = 3τ | 95 % : c’est le temps de réponse à 5 % |
| t = 5τ | 99 % |
La tangente à l’origine coupe la valeur finale exactement à t = τ. C’est la deuxième façon de lire τ sur une courbe.
Identifier un système à partir d’une courbe
- Vérifier l’allure : départ avec une pente non nulle, pas de dépassement, stabilisation.
- Lire la valeur finale et calculer K = Δs / Δe.
- Chercher l’instant où la sortie atteint 63 % de sa variation : c’est τ.
- Contrôler : à 3τ, la sortie doit être à 95 %.
Des systèmes du premier ordre
| Système | Entrée → sortie | Constante de temps |
|---|---|---|
| Circuit RC | Tension → tension du condensateur | τ = R × C |
| Moteur à courant continu (inductance négligée) | Tension → vitesse | Dépend de l’inertie et du moteur |
| Four, radiateur | Puissance → température | Souvent plusieurs minutes |
Un premier ordre ne dépasse jamais sa valeur finale. Si une courbe dépasse puis revient, le modèle est au moins du deuxième ordre.
Exemple travaillé
Un moteur, alimenté par un échelon de 12 V, se stabilise à 600 rad/s. La vitesse atteint 378 rad/s au bout de 0,2 s.
- Gain statique : K = 600 / 12 = 50 rad/s par volt.
- 378 / 600 = 0,63, donc τ = 0,2 s.
- Temps de réponse à 5 % : 3 × 0,2 = 0,6 s.
- Sous 6 V, le même moteur se stabiliserait à 300 rad/s, avec la même constante de temps.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Quelle part de sa valeur finale un premier ordre atteint-il à t = τ ?
2.Le temps de réponse à 5 % d’un premier ordre vaut…
3.Un premier ordre peut dépasser sa valeur finale.
4.Comment calcule-t-on le gain statique K ?
5.Où la tangente à l’origine coupe-t-elle la valeur finale ?
6.Quelle est la constante de temps d’un circuit RC ?
0 / 6 questions
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