Sciences de l'ingénieur · Terminale · Cinématique et dynamique du solide
Moment d’inertie et inertie équivalente
La masse de la rotation.
En bref
Faire tourner une roue de vélo tenue par l’axe est facile ; faire tourner la même masse en couronne de 1 m de rayon l’est beaucoup moins.
Faire tourner une roue de vélo tenue par l’axe est facile ; faire tourner la même masse en couronne de 1 m de rayon l’est beaucoup moins. Ce qui résiste à la rotation, ce n’est pas la masse seule : c’est la masse ET la distance à l’axe.
Définition
Le moment d’inertie J d’un solide par rapport à un axe additionne chaque petite masse multipliée par le carré de sa distance à l’axe : J = somme des m × r². Il s’exprime en kg·m².
| Forme | Moment d’inertie autour de son axe |
|---|---|
| Masse ponctuelle à la distance r | m × r² |
| Anneau ou tube mince de rayon R | m × R² |
| Cylindre ou disque plein de rayon R | ½ × m × R² |
Doubler la masse double l’inertie ; doubler le rayon la quadruple. C’est pourquoi on allège d’abord la périphérie d’une pièce qui doit accélérer vite.
Pourquoi on la ramène sur l’arbre moteur
Un moteur entraîne souvent sa charge à travers un réducteur. Le moteur « ressent » l’inertie de la charge, mais réduite. On calcule une inertie équivalente ramenée sur son arbre, en écrivant que l’énergie cinétique est la même :
½ × J_eq × ω_m² = ½ × J_m × ω_m² + ½ × J_c × ω_c²
Avec le rapport de réduction k = ω_c / ω_m, on obtient :
J_eq = J_m + J_c × k²
Une masse m en translation à la vitesse v se ramène de la même façon : elle compte pour m × (v / ω_m)². Pour une charge levée par un tambour de rayon R monté directement sur l’arbre, c’est m × R².
La méthode
- Calculer l’inertie de chaque pièce tournante par rapport à SON axe.
- Calculer le rapport k entre sa vitesse et celle du moteur.
- Multiplier son inertie par k².
- Additionner le tout, sans oublier le rotor du moteur.
Un réducteur de rapport 1/10 divise par 100 l’inertie ressentie par le moteur. C’est l’une des raisons pour lesquelles on associe un petit moteur rapide à un réducteur plutôt qu’un gros moteur lent.
Exemple travaillé
Un plateau tournant plein de 20 kg et de rayon 0,4 m est entraîné par un moteur via un réducteur de rapport k = 1/10. Le rotor du moteur a une inertie de 0,001 kg·m².
- Plateau : J_c = ½ × 20 × 0,4² = 1,6 kg·m².
- Ramené au moteur : 1,6 × (1/10)² = 0,016 kg·m².
- J_eq = 0,001 + 0,016 = 0,017 kg·m².
Pour accélérer le moteur à 200 rad/s², il faudra un couple de 0,017 × 200 = 3,4 N·m, frottements non compris.
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6 questions pour vérifier
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1.De quoi dépend le moment d’inertie d’un solide ?
2.Quel est le moment d’inertie d’un disque plein de masse m et de rayon R ?
3.Si l’on double le rayon d’un anneau de même masse, son inertie est…
4.Un anneau de 2 kg et de rayon 0,5 m a une inertie de…
5.Quelle formule donne l’inertie équivalente ramenée sur l’arbre moteur ?
6.Un réducteur de rapport 1/5 divise l’inertie de la charge ressentie par le moteur par…
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