Mathématiques (voie techno) · Première · Automatismes
Automatismes : développer, factoriser, résoudre
Les gestes du calcul littéral.
En bref
Transformer une expression, résoudre une équation, trouver le signe d’un produit : ce sont les outils de tous les exercices de l’épreuve.
Transformer une expression, résoudre une équation, trouver le signe d’un produit : ce sont les outils de tous les exercices de l’épreuve. Ils doivent venir sans hésiter.
Développer
| Ce qu’on a | Ce qu’on obtient |
|---|---|
| k(a + b) | ka + kb |
| (a + b)(c + d) | ac + ad + bc + bd |
| (a + b)² | a² + 2ab + b² |
| (a − b)² | a² − 2ab + b² |
| (a − b)(a + b) | a² − b² |
(a + b)² n’est pas a² + b² : on oublie le double produit 2ab.
Factoriser
C’est le chemin inverse : écrire une somme sous forme de produit.
- Chercher un facteur commun : 5x² + 10x = 5x(x + 2).
- Reconnaître une différence de deux carrés : x² − 9 = (x − 3)(x + 3).
Résoudre une équation
Premier degré : on isole x. 2x + 5 = 11 donne 2x = 6, donc x = 3.
Produit nul : un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul.
(x − 4)(2x + 6) = 0 équivaut à x − 4 = 0 ou 2x + 6 = 0, soit x = 4 ou x = −3.
Équation x² = a :
| Si… | Solutions |
|---|---|
| a > 0 | x = √a ou x = −√a |
| a = 0 | x = 0 |
| a < 0 | Aucune solution |
Les inéquations
On résout comme une équation, avec une règle de plus :
Multiplier ou diviser par un nombre négatif change le sens de l’inégalité : −3x > 12 donne x < −4.
Le signe d’une expression
ax + b s’annule en x = −b/a et prend le signe de a à droite de cette valeur. Ainsi −2x + 6 est positif pour x < 3 et négatif pour x > 3.
Pour un produit comme (x − 1)(x − 5), on dresse un tableau de signes : une ligne par facteur, puis la règle des signes.
| x | moins de 1 | entre 1 et 5 | plus de 5 |
|---|---|---|---|
| x − 1 | − | + | + |
| x − 5 | − | − | + |
| produit | + | − | + |
Isoler une variable
Dans une formule d’une autre discipline, on isole la grandeur cherchée par les mêmes opérations : U = R × I donne R = U ÷ I.
Un produit se lit, une somme se calcule : factoriser, c’est se donner le moyen de résoudre.
Exemple travaillé
Résoudre x² − 9 = 0.
- Factoriser : (x − 3)(x + 3) = 0.
- Produit nul : x = 3 ou x = −3.
- Vérifier : 3² − 9 = 0 et (−3)² − 9 = 0.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Développer 3(x − 2) donne…
2.Développer (x + 3)² donne…
3.Quelle est la forme factorisée de x² − 9 ?
4.Quelle est la forme factorisée de 5x² + 10x ?
5.Quelle est la solution de 2x + 5 = 11 ?
6.Quelles sont les solutions de (x − 4)(2x + 6) = 0 ?
0 / 6 questions
Dans l’app, ce chapitre a son quiz complet, chronométré, et tes erreurs reviennent au bon moment pour ne plus les refaire.
La fiche de révision, sur une page
Tout « Développer, factoriser » sur une seule page A4 illustrée : l’essentiel, les pièges et un mini-test. Elle se débloque dans l’app avec des gemmes — et ton compte gratuit en offre assez pour tes trois premières fiches.
