Maths · Première · Analyse
Dérivation
Une formule, un signe, des variations.
En bref
Le nombre dérivé de f en a est la limite du taux de variation quand h tend vers 0.
Le nombre dérivé de f en a est la limite du taux de variation quand h tend vers 0. Géométriquement, c'est le coefficient directeur de la tangente.
f'(a) = limite de [f(a + h) − f(a)] / h
L'équation de la tangente
y = f'(a) × (x − a) + f(a)
Elle tombe à chaque devoir et se retient en la lisant : une droite de coefficient directeur f'(a) qui passe par le point (a ; f(a)).
Les dérivées à connaître
| La fonction f(x) | Sa dérivée f'(x) | Sur quel domaine |
|---|---|---|
| k (constante) | 0 | Les réels |
| x | 1 | Les réels |
| x² | 2x | Les réels |
| x puissance n | n × x puissance (n − 1) | Les réels |
| 1 / x | −1 / x² | x différent de 0 |
| √x | 1 / (2√x) | x > 0 |
Les opérations
| L'expression | Sa dérivée | Le piège |
|---|---|---|
| u + v | u' + v' | — |
| k × u | k × u' | — |
| u × v | u'v + uv' | Le produit des dérivées serait faux |
| 1 / v | −v' / v² | — |
| u / v | (u'v − uv') / v² | L'ordre au numérateur : la soustraction n'est pas commutative |
Dérivée et variations
C'est le lien qui donne tout son intérêt à la dérivation.
| Le signe de f' sur un intervalle | Le sens de variation de f |
|---|---|
| Positive | f est croissante |
| Négative | f est décroissante |
| Elle s'annule en changeant de signe | f admet un extremum local |
Attention à la réciproque : f' peut s'annuler sans extremum. C'est le cas de f(x) = x³ en 0, où la tangente est horizontale mais la fonction reste croissante.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Que représente géométriquement le nombre dérivé f’(a) ?
2.Quelle est l’équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a ?
3.Quelle est la dérivée de x puissance n ?
4.La dérivée d’un produit est le produit des dérivées.
5.Que peut-on dire de f si f’ est négative sur un intervalle ?
6.Quelle est la dérivée de 1 / x ?
0 / 6 questions
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