Maths · Première · Analyse
Tangente et optimisation : la dérivée au travail
La dérivée trouve le meilleur.
En bref
La dérivée ne sert pas qu'à dresser des tableaux : elle donne l'équation d'une tangente et, surtout, elle trouve le maximum ou le minimum d'une grandeur — l'aire la plus grande, le coût le plus bas, le bénéfice le plus haut.
Écrire l'équation d'une tangente
La tangente à la courbe de f au point d'abscisse a a pour équation y = f'(a)(x − a) + f(a).
Exemple travaillé. f(x) = x² − 3x + 1, en a = 2.
- f(2) = 4 − 6 + 1 = −1.
- f'(x) = 2x − 3, donc f'(2) = 1.
- y = 1 × (x − 2) + (−1), soit y = x − 3.
| Deux tangentes à connaître | Leur équation |
|---|---|
| À la courbe de x² au point d'abscisse 1 | y = 2x − 1 |
| À la courbe de e puissance x au point d'abscisse 0 | y = x + 1 |
Les questions inverses
| La question | Ce qu'on résout |
|---|---|
| Où la tangente est-elle horizontale ? | f'(a) = 0 |
| Où la tangente est-elle parallèle à la droite y = 5x + 2 ? | f'(a) = 5 (même coefficient directeur) |
| En quel point de la courbe de x² la tangente a-t-elle pour coefficient directeur 6 ? | 2a = 6, donc a = 3 |
Optimiser en quatre temps
- Choisir la variable et son intervalle (une longueur est positive, une quantité est bornée).
- Exprimer la grandeur à optimiser en fonction de cette seule variable.
- Étudier ses variations : dérivée, signe, tableau.
- Conclure en répondant à la question posée, avec l'unité.
L'étape 2 est celle où tout se joue : une fois la fonction écrite, le reste est une étude de variations comme les autres.
Exemple travaillé : l'enclos. Avec 40 m de grillage, on clôt un rectangle adossé à un mur (le mur ferme un côté). On note x la largeur, en mètres.
- La longueur vaut 40 − 2x, avec x dans ]0 ; 20[.
- L'aire vaut A(x) = x (40 − 2x) = 40x − 2x².
- A'(x) = 40 − 4x : positive avant 10, nulle en 10, négative après. A est croissante puis décroissante.
- L'aire est maximale pour x = 10 m : l'enclos mesure 10 m sur 20 m, soit 200 m².
Exemple : le bénéfice. B(q) = −2q² + 120q − 1 000 euros pour q objets. B'(q) = −4q + 120 s'annule en q = 30 en passant du positif au négatif : le bénéfice est maximal pour 30 objets et vaut B(30) = −1 800 + 3 600 − 1 000 = 800 euros.
Ne pas oublier les bornes
Sur un intervalle fermé, le maximum peut se trouver à une borne et non là où la dérivée s'annule. On compare donc toujours les valeurs aux extremums locaux et aux bornes.
Un extremum se lit là où f' s'annule en changeant de signe ; une dérivée nulle seule ne suffit pas.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
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1.Quelle est l’équation de la tangente à la courbe de f(x) = x² − 3x + 1 au point d’abscisse 2 ?
2.Que signifie f’(a) = 0 pour la courbe de f ?
3.Quelle est la tangente à la courbe de l’exponentielle au point d’abscisse 0 ?
4.Quelle est la tangente à la courbe de x² au point d’abscisse 1 ?
5.En quel point de la courbe de x² la tangente a-t-elle pour coefficient directeur 6 ?
6.Pour trouver où la tangente est parallèle à y = 5x + 2, on résout…
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