Maths · Seconde · Fonctions
Généralités sur les fonctions
Image, antécédent, variations : le vocabulaire.
En bref
Une fonction est un procédé qui, à chaque nombre d'un ensemble de départ, associe un seul nombre.
Le vocabulaire
| Le terme | Sa définition |
|---|---|
| L'ensemble de définition | Les valeurs de x pour lesquelles f(x) existe |
| L'image de x | Le nombre f(x) |
| Un antécédent de b | Un nombre a tel que f(a) = b |
| La règle | Son contenu |
|---|---|
| Un nombre a au plus une image | C'est la définition d'une fonction |
| Un nombre peut avoir plusieurs antécédents, ou aucun | Rien ne l'interdit |
On exclut de l'ensemble de définition ce qui annule un dénominateur ou rend négatif l'intérieur d'une racine.
Exemples : f(x) = 1/(x − 2) est définie sur ℝ privé de 2 ; g(x) = √(x + 3) est définie sur [−3 ; +∞[. Si f(3) = 7, alors 7 est l'image de 3 et 3 est un antécédent de 7.
Trois représentations
| La représentation | Ce qu'elle donne |
|---|---|
| Une formule | Le calcul exact pour tout x |
| Un tableau de valeurs | Quelques images |
| Une courbe | Le comportement d'ensemble |
Un point M(x ; y) appartient à la courbe si et seulement si y = f(x).
Une courbe qu'une verticale coupe deux fois n'est pas la courbe d'une fonction : un nombre n'a qu'une image.
Variations
| Le sens | Sa définition |
|---|---|
| Croissante sur un intervalle | Elle conserve l'ordre : si a ≤ b, alors f(a) ≤ f(b) |
| Décroissante | Elle l'inverse |
Le tableau de variations résume ce comportement avec des flèches, et fait apparaître les extremums — avec la valeur de x où ils sont atteints.
M est le maximum de f sur I si f(x) ≤ M pour tout x de I, et s'il existe un a de I tel que f(a) = M. Le minimum se définit de la même façon.
Résoudre graphiquement
| La question | La lecture |
|---|---|
| f(x) = k | Les abscisses des points de la courbe d'ordonnée k |
| f(x) ≥ k | Les portions de courbe au-dessus de la droite y = k |
| Le signe de f | Où la courbe est au-dessus ou au-dessous de l'axe des abscisses |
La méthode pour résoudre f(x) = k graphiquement :
- Tracer la droite horizontale y = k.
- Repérer ses points d'intersection avec la courbe.
- Lire leurs abscisses : ce sont les solutions.
- Écrire S = {…} ; pour une inéquation, un intervalle ou une réunion d'intervalles.
Exemple résolu
Soit f(x) = x² − 4x + 1, définie sur ℝ.
- Image de −1 : f(−1) = 1 + 4 + 1 = 6.
- Le point A(2 ; −3) est-il sur la courbe ? f(2) = 4 − 8 + 1 = −3 : oui.
- Antécédents de 1 : x² − 4x + 1 = 1 donne x² − 4x = 0, soit x(x − 4) = 0, donc 0 et 4. Le nombre 1 a deux antécédents.
Les erreurs fréquentes
- Lire une ordonnée quand on demande des solutions : ce sont des abscisses.
- Confondre tableau de signes (où f est positive) et tableau de variations (où f monte).
- Oublier de préciser l'intervalle quand on énonce une variation.
Ce vocabulaire sert à chaque chapitre de fonctions jusqu'en Terminale : dérivation, exponentielle, logarithme.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Qu’est-ce qu’une fonction ?
2.Qu’est-ce que l’ensemble de définition ?
3.Si f(3) = 7, que peut-on dire ?
4.Un nombre peut-il avoir plusieurs antécédents ?
5.Que signifie que f est croissante sur un intervalle ?
6.Une courbe coupée deux fois par une même verticale peut représenter une fonction.
0 / 6 questions
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