Maths · Seconde · Nombres et calculs
Les équations et inéquations
Résoudre sans perdre ni inventer de solutions.
En bref
Résoudre, c'est trouver toutes les valeurs qui rendent l'égalité ou l'inégalité vraie — ni plus, ni moins.
Les équations du premier degré
ax + b = 0 admet, pour a non nul, l'unique solution x = −b/a.
| L'étape | Le geste |
|---|---|
| 1 | Développer si nécessaire |
| 2 | Regrouper les termes en x d'un côté, les constantes de l'autre |
| 3 | Diviser par le coefficient de x |
Exemple : 3x − 12 = 0 donne 3x = 12, donc x = 4. On conclut toujours par l'ensemble des solutions : S = {4}.
Produit et quotient
| L'équation | La condition de nullité |
|---|---|
| Un produit est nul | Si et seulement si l'un de ses facteurs est nul |
| Un quotient est nul | Si son numérateur est nul et son dénominateur non nul |
(x − 2)(x + 5) = 0 donne x = 2 ou x = −5.
Pour un quotient, déterminer les valeurs interdites avant toute résolution.
Exemple : (x − 3)/(x + 1) = 0. Valeur interdite : −1. Le numérateur s'annule pour x = 3, qui n'est pas interdit : S = {3}.
Les inéquations
Mêmes gestes qu'une équation, avec une exception décisive.
| L'opération | L'effet sur l'inégalité |
|---|---|
| Ajouter ou soustraire | Le sens est conservé |
| Multiplier ou diviser par un nombre positif | Conservé |
| Multiplier ou diviser par un nombre strictement négatif | Le sens est inversé |
C'est la seule règle vraiment nouvelle des inéquations.
La solution s'écrit sous forme d'intervalle : par exemple S = ]−∞ ; 3].
Exemple : −2x + 6 > 0 donne −2x > −6 ; on divise par −2 en inversant le sens : x < 3, donc S = ]−∞ ; 3[.
Le tableau de signes
| L'étape | Ce qu'on y met |
|---|---|
| 1 | Les valeurs qui annulent chaque facteur, dans l'ordre croissant |
| 2 | Le signe de chaque facteur sur chaque intervalle |
| 3 | Le signe du produit ou du quotient, par la règle des signes |
| 4 | Une double barre à la valeur interdite d'un dénominateur |
Exemple résolu : une inéquation produit
Résoudre (x − 2)(x + 5) ≤ 0.
- Les facteurs s'annulent en −5 et en 2.
- x − 2 est négatif avant 2, positif après ; x + 5 est négatif avant −5, positif après.
- Le produit est positif sur ]−∞ ; −5[, négatif sur ]−5 ; 2[, positif sur ]2 ; +∞[.
- On veut « inférieur ou égal » : on garde l'intervalle négatif, bornes comprises car elles annulent le produit. S = [−5 ; 2].
Cette méthode se réutilise toute l'année, et l'an prochain avec le second degré.
Les erreurs fréquentes
- Diviser par un nombre négatif sans changer le sens de l'inégalité.
- Diviser les deux membres par x : on risque de perdre la solution x = 0. On factorise plutôt.
- Fermer un crochet sur une valeur interdite, où le quotient n'existe pas.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Quelle est la solution de 3x − 12 = 0 ?
2.Quelles sont les solutions de (x − 2)(x + 5) = 0 ?
3.Que faut-il déterminer avant de résoudre une équation quotient ?
4.Que devient l’inégalité quand on divise les deux membres par −2 ?
5.Résolvez −2x + 6 > 0.
6.Un quotient est nul lorsque son numérateur est nul et son dénominateur non nul.
0 / 6 questions
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