Maths complémentaires · Terminale · Probabilités et statistique
Lois à densité
Une probabilité est une aire.
En bref
Une variable continue peut prendre n’importe quelle valeur d’un intervalle : une durée, une taille, une masse.
Une variable continue peut prendre n’importe quelle valeur d’un intervalle : une durée, une taille, une masse. Les probabilités s’y calculent par des aires, non par des sommes.
La densité
Une densité de probabilité est une fonction f continue et positive dont l’intégrale sur l’intervalle vaut 1. La probabilité s’écrit alors :
P(a inférieur ou égal à X inférieur ou égal à b) = ∫ de a à b de f(x) dx
Une probabilité est une aire sous la courbe de densité.
La conséquence contre-intuitive
Pour toute valeur c : P(X = c) = 0. L’intégrale d’un point est nulle.
Une valeur isolée a une probabilité nulle sans être impossible : la probabilité qu’une ampoule dure exactement 1000,000… heures est nulle, et pourtant elle dure bien une durée précise.
Corollaire pratique : les inégalités strictes et larges donnent le même résultat. C’est une simplification, pas un piège.
Les trois lois du programme
| Loi | Ce qu’elle modélise | À retenir |
|---|---|---|
| Uniforme sur un intervalle | Un instant d’arrivée au hasard, une erreur d’arrondi | Densité constante 1/(b − a) ; espérance (a + b)/2 |
| Exponentielle de paramètre λ | Durées de vie, temps d’attente | P(X > t) = e^(−λt) ; espérance 1/λ |
| Normale de paramètres μ et σ | Ce qui résulte de nombreux facteurs indépendants | La courbe en cloche, symétrique autour de μ |
La loi uniforme
Toutes les portions de même longueur ont la même probabilité :
P(c inférieur ou égal à X inférieur ou égal à d) = (d − c)/(b − a)
La loi exponentielle et l’absence de mémoire
Sa propriété caractéristique : la probabilité de tenir t de plus ne dépend pas de la durée déjà écoulée.
Un composant qui a déjà duré 1 000 heures a la même probabilité de tenir 100 heures de plus qu’un composant neuf. C’est ce qui rend le modèle pertinent pour l’électronique — et inadapté à ce qui s’use, comme un pneu ou un organisme vivant.
La loi normale — les trois repères
| Intervalle | La part des valeurs |
|---|---|
| μ ± σ | environ 68 % |
| μ ± 2σ | environ 95 % |
| μ ± 3σ | environ 99,7 % |
Elle apparaît partout où une grandeur résulte de nombreux facteurs indépendants : mesures physiques, tailles dans une population, erreurs. Une loi binomiale à grand n s’en approche également.
Discret : on additionne des probabilités. Continu : on calcule des aires. C’est le seul changement de méthode, mais il commande tout le chapitre.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Comment calcule-t-on P(a ≤ X ≤ b) pour une loi à densité ?
2.Que vaut P(X = c) pour une variable continue ?
3.Quelle propriété caractérise la loi exponentielle ?
4.Que vaut l’espérance d’une loi exponentielle de paramètre λ ?
5.Quelle est la densité d’une loi uniforme sur [a ; b] ?
6.Quelle proportion des valeurs d’une loi normale se trouve dans [μ − 2σ ; μ + 2σ] ?
0 / 6 questions
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La fiche de révision, sur une page
Tout « Lois à densité » sur une seule page A4 illustrée : l’essentiel, les pièges et un mini-test. Elle se débloque dans l’app avec des gemmes — et ton compte gratuit en offre assez pour tes trois premières fiches.
