Maths complémentaires · Terminale · Probabilités et statistique
Lois discrètes
Compter les issues, pondérer les gains.
En bref
Une loi est discrète quand la variable aléatoire ne prend qu’un nombre fini ou dénombrable de valeurs : un nombre de succès, un nombre de pannes, un gain en euros.
La variable aléatoire
Une variable aléatoire X associe un nombre à chaque issue. Sa loi de probabilité est la liste de ses valeurs possibles avec leurs probabilités.
La somme de ces probabilités vaut nécessairement 1. Première vérification de tout tableau de loi.
Les trois indicateurs
| Indicateur | Sa formule | Ce qu’il dit |
|---|---|---|
| Espérance | E(X) = somme des p(i) x(i) | La valeur moyenne sur un très grand nombre de répétitions |
| Variance | V(X) = E(X²) − E(X)² | La dispersion autour de l’espérance |
| Écart-type | σ(X) = √V(X) | La même chose, dans la même unité que X — donc plus lisible |
L’espérance n’est pas nécessairement une valeur possible de X : celle d’un dé vaut 3,5.
Un jeu équitable a une espérance de gain nulle. Un jeu d’espérance négative est perdant à long terme, quelle que soit la chance à court terme — c’est le cas de tous les jeux d’argent commerciaux.
Les propriétés
| Transformation | Espérance | Variance |
|---|---|---|
| aX + b | a E(X) + b | a² V(X) — le b disparaît |
| X + Y | E(X) + E(Y), toujours | V(X) + V(Y), seulement si X et Y sont indépendantes |
Bernoulli et binomiale
| Bernoulli | Binomiale B(n ; p) | |
|---|---|---|
| L’expérience | Une épreuve à deux issues | n épreuves identiques et indépendantes |
| La variable | 1 ou 0 | Le nombre de succès |
| L’espérance | p | n p |
| La variance | p(1 − p) | n p (1 − p) |
P(X = k) = C(n,k) p^k (1 − p)^(n−k)
Les trois conditions à vérifier
Avant d’écrire « X suit une loi binomiale » : épreuves identiques, indépendantes, à deux issues.
Un tirage sans remise dans une petite population viole la deuxième. C’est le piège classique.
Le calcul pratique
P(X = k) à la calculatrice ; P(X inférieur ou égal à k) par la fonction de répartition ; et surtout P(X supérieur ou égal à k) = 1 − P(X inférieur ou égal à k−1), en passant par l’événement contraire.
L’usage en modélisation
Contrôle qualité (pièces défectueuses dans un lot), sondage (réponses favorables), fiabilité (nombre de pannes), génétique.
Une espérance se calcule toujours ; une loi binomiale ne s’applique que si les trois conditions sont réunies. Les vérifier explicitement fait partie de la réponse attendue.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Que vaut la somme des probabilités d’une loi de probabilité ?
2.L’espérance d’une variable aléatoire est-elle toujours une valeur possible ?
3.Qu’est-ce qu’un jeu équitable ?
4.Que vaut V(aX + b) ?
5.Quelles conditions doivent être réunies pour appliquer la loi binomiale ?
6.Que vaut l’espérance d’une loi binomiale B(n ; p) ?
0 / 6 questions
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