Maths complémentaires · Terminale · Probabilités et statistique
Probabilités conditionnelles
Sachant que B, quelle chance pour A ?
En bref
Une probabilité conditionnelle répond à une question précise : « sachant que B s’est produit, quelle chance a A ?
Une probabilité conditionnelle répond à une question précise : « sachant que B s’est produit, quelle chance a A ? » Conditionner, c’est réévaluer une probabilité à la lumière d’une information nouvelle.
La définition
P_B(A) = P(A inter B) / P(B), avec P(B) non nulle.
On en déduit la formule des probabilités composées : P(A inter B) = P(B) × P_B(A).
L’arbre pondéré
| Règle | Ce qu’elle dit |
|---|---|
| Somme des branches d’un nœud | Elle vaut toujours 1 |
| Probabilité d’un chemin | C’est le produit des probabilités rencontrées |
| Probabilité d’un événement | C’est la somme des chemins qui y mènent |
La dernière ligne est la formule des probabilités totales : l’arbre n’est pas un dessin d’appoint, c’est la démonstration elle-même.
L’indépendance
A et B sont indépendants lorsque P(A inter B) = P(A) × P(B), autrement dit lorsque P_B(A) = P(A) : savoir que B s’est produit ne change rien à A.
Le piège du test médical
Un test fiable à 99 % appliqué à une maladie rare produit surtout des faux positifs. Sur 10 000 personnes, avec une maladie touchant 1 personne sur 10 000 :
| Groupe | Effectif | Résultats positifs |
|---|---|---|
| Malades | 1 | 1 (le test est fiable) |
| Bien portants | 9 999 | environ 100 (les 1 % d’erreur) |
Un résultat positif a donc environ 1 chance sur 100 d’être un vrai malade.
L’erreur consiste à confondre P(positif sachant malade), très élevée, avec P(malade sachant positif), très faible. Les deux se ressemblent en français et n’ont rien à voir en mathématiques.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Quelle est la formule de la probabilité conditionnelle ?
2.Dans un arbre pondéré, la probabilité d’un chemin est le produit de ses branches.
3.Deux événements sont indépendants lorsque…
4.P(A sachant B) et P(B sachant A) sont toujours égales.
5.La formule des probabilités totales consiste à…
6.Un test très fiable appliqué à une maladie rare produit beaucoup de faux positifs.
0 / 6 questions
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La fiche de révision, sur une page
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