Maths complémentaires · Terminale · Probabilités et statistique
Statistique à deux variables
Un lien n’est pas une cause.
En bref
Une série statistique à deux variables associe à chaque individu deux mesures : taille et poids, ancienneté et salaire, année et production.
Une série statistique à deux variables associe à chaque individu deux mesures : taille et poids, ancienneté et salaire, année et production. La question est de savoir si l’une renseigne sur l’autre.
Le nuage de points
Chaque individu est un point de coordonnées (x ; y). Le point moyen G a pour coordonnées la moyenne des x et la moyenne des y.
La lecture du nuage précède toujours le calcul : elle indique si un ajustement affine a un sens, et signale les points aberrants.
L’ajustement affine
La droite de régression de y en x, d’équation y = a x + b, est obtenue par la méthode des moindres carrés : parmi toutes les droites, celle qui rend minimale la somme des carrés des écarts verticaux.
| Propriété | Ce qu’elle implique |
|---|---|
| Elle passe toujours par le point moyen G | Un contrôle immédiat |
| La régression de x en y est une autre droite | Le choix dépend de la variable qu’on cherche à prévoir |
Le coefficient de corrélation linéaire
| Valeur de r | Ce qu’elle indique |
|---|---|
| Proche de 1 | Points presque alignés sur une droite croissante |
| Proche de −1 | Presque alignés sur une droite décroissante |
| Proche de 0 | Pas de liaison affine — ce qui ne veut pas dire aucune liaison |
Une relation parabolique parfaite peut donner un r nul. Le coefficient mesure la qualité d’un ajustement affine, et rien d’autre.
Interpoler ou extrapoler
| Interpolation | Extrapolation | |
|---|---|---|
| Où | À l’intérieur de la plage observée | Au-delà |
| Sa fiabilité | Raisonnable | Beaucoup plus risquée |
Toute prévision par extrapolation doit être assortie d’une réserve. C’est un attendu de l’épreuve.
Corrélation n’est pas causalité
| L’explication possible | Un exemple |
|---|---|
| Une causalité directe de x vers y | — |
| Une causalité inverse, de y vers x | — |
| Un facteur commun | Ventes de glaces et noyades augmentent ensemble : la chaleur explique les deux |
| Une coïncidence | D’autant plus probable qu’on teste beaucoup de couples |
Seule une expérimentation contrôlée établit une causalité. Un coefficient de corrélation, jamais.
Les ajustements non affines
Quand le nuage est courbe, un changement de variable peut le redresser : poser z = ln(y) linéarise un modèle exponentiel, poser z = ln(x) un modèle logarithmique. On ajuste sur les données transformées, puis on revient au modèle initial.
Trois réflexes : regarder le nuage avant de calculer, ne jamais lire une causalité dans un r, et assortir toute extrapolation d’une réserve.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Par quel point la droite de régression passe-t-elle toujours ?
2.Que minimise la méthode des moindres carrés ?
3.Entre quelles valeurs le coefficient de corrélation linéaire est-il compris ?
4.Un coefficient de corrélation nul signifie-t-il qu’il n’y a aucune liaison ?
5.Quelle est la différence entre interpoler et extrapoler ?
6.Une forte corrélation entre deux variables prouve-t-elle une causalité ?
0 / 6 questions
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