Maths expertes · Terminale · Nombres complexes
Équations polynomiales et nombres complexes
Toute équation polynomiale a ses racines.
En bref
Le motif historique des complexes est ici : dans ℂ, toute équation polynomiale non constante admet des solutions.
Le motif historique des complexes est ici : dans ℂ, toute équation polynomiale non constante admet des solutions. Aucune n’est plus « sans solution ».
L’équation du second degré à coefficients réels
Pour a z² + b z + c = 0, on calcule Δ = b² − 4ac.
| Le signe de Δ | Les solutions |
|---|---|
| Δ > 0 | Deux solutions réelles : (−b ± √Δ)/(2a) |
| Δ = 0 | Une solution double : −b/(2a) |
| Δ < 0 | Deux solutions complexes conjuguées : (−b ± i√(−Δ))/(2a) |
Le passage de √Δ à i√(−Δ) est le seul changement par rapport à la Première. Les deux solutions sont conjuguées l’une de l’autre — propriété générale quand les coefficients sont réels.
Le théorème fondamental de l’algèbre
Tout polynôme non constant à coefficients complexes admet au moins une racine dans ℂ. Par récurrence : un polynôme de degré n admet exactement n racines comptées avec leur multiplicité, et se factorise en un produit de n facteurs du premier degré.
C’est ce résultat qui justifie qu’on ne cherche plus jamais si une équation « a des solutions » : on cherche lesquelles.
Coefficients réels et racines conjuguées
Si un polynôme est à coefficients réels et admet la racine z, alors z̄ est aussi racine : les racines non réelles vont par paires.
Conséquence utile : un polynôme de degré impair à coefficients réels admet au moins une racine réelle.
La factorisation
Connaître une racine évidente z₀ permet de factoriser par (z − z₀). Le quotient s’obtient par identification des coefficients : poser la forme du quotient avec des coefficients inconnus, développer, identifier. C’est la méthode attendue pour un degré 3.
| Relation | Sa valeur |
|---|---|
| Somme des racines d’un trinôme | −b/a |
| Produit des racines | c/a |
Elles servent à retrouver la seconde racine quand la première est connue.
Les équations zⁿ = a
Elles se résolvent en forme exponentielle. En écrivant a = r e^(iθ) et z = ρ e^(iφ), l’équation devient ρⁿ = r et nφ = θ + 2kπ. D’où n solutions :
z = r^(1/n) e^(i(θ + 2kπ)/n), pour k de 0 à n−1
Leurs images forment un polygone régulier à n côtés.
Les trois erreurs à éviter
| Erreur | Ce qu’il faut écrire |
|---|---|
| √(−4) = 2i | Le symbole racine n’est pas défini sur les négatifs : passer par i√4 |
| « Δ < 0, donc pas de solution » | Deux solutions conjuguées |
| Ne donner qu’une racine à zⁿ = a | Les n valeurs de k, de 0 à n−1 |
Le passage de ℝ à ℂ ne change pas la méthode du second degré : il change seulement ce qu’on écrit quand Δ est négatif.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Que donne une équation du second degré à coefficients réels avec Δ < 0 ?
2.Que dit le théorème fondamental de l’algèbre ?
3.Si un polynôme à coefficients réels admet la racine z, que peut-on dire ?
4.Un polynôme de degré impair à coefficients réels admet…
5.Combien l’équation zⁿ = a (a non nul) admet-elle de solutions ?
6.Comment résout-on l’équation zⁿ = a ?
0 / 6 questions
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