Maths expertes · Terminale · Nombres complexes
Les nombres complexes d’un point de vue algébrique
Un nombre dont le carré vaut −1.
En bref
On construit un ensemble plus grand que ℝ en y ajoutant un nombre i vérifiant i² = −1.
On construit un ensemble plus grand que ℝ en y ajoutant un nombre i vérifiant i² = −1. Toutes les règles de calcul de ℝ y restent valables.
La forme algébrique
Tout nombre complexe z s’écrit de façon unique : z = a + i b, avec a et b réels.
| Notation | Ce qu’elle désigne |
|---|---|
| a = Re(z) | La partie réelle |
| b = Im(z) | La partie imaginaire — c’est un réel, pas un imaginaire |
| b = 0 | z est réel |
| a = 0 | z est imaginaire pur |
Deux complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles et imaginaires le sont : une équation complexe équivaut à deux équations réelles. C’est la technique de résolution la plus employée.
Les opérations
Somme et produit se calculent comme avec des expressions littérales, en remplaçant i² par −1 :
(a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc)
Le conjugué
Le conjugué de z = a + ib est z̄ = a − ib.
| Propriété | Ce qu’elle donne |
|---|---|
| Conjugué d’une somme, d’un produit, d’un quotient | La somme, le produit, le quotient des conjugués |
| z × z̄ = a² + b² | Un réel positif — c’est ce qui rend toutes les divisions possibles |
| z + z̄ = 2 Re(z) | — |
| z − z̄ = 2i Im(z) | — |
| z = z̄ | z est réel |
| z = −z̄ | z est imaginaire pur |
Le quotient
Pour diviser, on multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur : le dénominateur devient réel, et l’on obtient la forme algébrique.
C’est le geste technique de base du chapitre.
Le module
Le module de z = a + ib vaut √(a² + b²), et son carré vaut z × z̄.
| Propriété | Ce qu’elle dit |
|---|---|
| Il est positif ou nul | Et nul seulement si z = 0 |
| Module d’un produit | Le produit des modules |
| Module d’un quotient | Le quotient des modules |
| Module d’une puissance | La puissance du module |
| Module d’une somme | Inférieur ou égal à la somme des modules — inégalité triangulaire |
Le module n’est pas additif. C’est la seule des cinq propriétés qui soit une inégalité, et c’est celle qu’on oublie.
Ce que ℂ perd
ℂ n’est pas ordonné : écrire z < z′ n’a aucun sens pour des complexes non réels. On ne peut comparer que des modules, qui sont des réels.
C’est la faute la plus lourde d’une copie. Toute la suite du chapitre découle de deux formules : i² = −1, qui fait exister ℂ, et z z̄ = module au carré, qui y rend la division possible.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Que vaut i² ?
2.Dans z = a + ib, la partie imaginaire de z est…
3.Que vaut z × z̄ pour z = a + ib ?
4.Comment met-on un quotient de complexes sous forme algébrique ?
5.z est réel si et seulement si…
6.Le module vérifie-t-il |z + z′| = |z| + |z′| ?
0 / 6 questions
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La fiche de révision, sur une page
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