Maths expertes · Terminale · Nombres complexes
Le point de vue géométrique des nombres complexes
Distance = module, angle = argument.
En bref
Le vrai pouvoir des complexes est de traduire une figure du plan en calcul.
Le vrai pouvoir des complexes est de traduire une figure du plan en calcul. Cette fiche installe le dictionnaire entre les deux langues.
L’affixe
Dans un repère orthonormé direct, au complexe z = a + ib on associe le point M(a ; b), son image ; réciproquement z est l’affixe de M. On associe de même une affixe à un vecteur.
Le dictionnaire
| L’objet géométrique | Son écriture complexe |
|---|---|
| L’affixe du vecteur AB | z(B) − z(A) |
| La distance AB | Le module de z(B) − z(A) |
| Le milieu de [AB] | (z(A) + z(B))/2 |
| Le symétrique par rapport à l’axe des abscisses | Le conjugué z̄ |
| Le symétrique par rapport à l’origine | −z |
Module et argument
Pour z non nul, l’argument est une mesure de l’angle orienté entre l’axe des abscisses et le vecteur d’affixe z. Il est défini modulo 2π : un complexe a une infinité d’arguments.
Le complexe 0 n’a pas d’argument — son module est nul, aucune direction n’est définie. C’est l’oubli le plus fréquent des conditions d’existence.
La forme trigonométrique
En posant r le module et θ l’argument : z = r (cos θ + i sin θ)
Le passage de l’algébrique au trigonométrique : calculer r, puis résoudre cos θ = a/r et sin θ = b/r.
Il faut les deux équations : le cosinus seul laisse deux angles possibles.
Les propriétés des arguments
| Opération | Son argument |
|---|---|
| Produit zz′ | arg z + arg z′ |
| Quotient z/z′ | arg z − arg z′ |
| Puissance zⁿ | n arg z |
| Conjugué z̄ | − arg z |
Multiplier, c’est additionner les arguments. C’est ce qui fait du produit complexe une rotation doublée d’un agrandissement.
Les caractérisations géométriques
| La condition | L’ensemble ou la propriété |
|---|---|
| Le module de z − z(A) vaut R | Le cercle de centre A et de rayon R |
| Le module de z − z(A) égale celui de z − z(B) | La médiatrice de [AB] |
| L’argument d’un quotient de différences d’affixes | L’angle entre deux vecteurs |
Les deux configurations à connaître
En posant Z = (z(C) − z(A))/(z(B) − z(A)) :
| Z est… | Alors |
|---|---|
| Réel | A, B, C sont alignés |
| Imaginaire pur | Les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires |
Ces deux critères transforment une question de géométrie en une question sur une partie réelle ou imaginaire.
Le pont est toujours le même : une distance est un module, un angle est un argument. Toute figure se traduit avec ces deux mots.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Que représente |z(B) − z(A)| ?
2.Le complexe 0 possède-t-il un argument ?
3.Que vaut arg(z z′) ?
4.Quelle est la forme trigonométrique d’un complexe non nul ?
5.Quel ensemble décrit l’équation |z − z(A)| = R ?
6.Trois points A, B, C sont alignés si et seulement si…
0 / 6 questions
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