Maths expertes · Terminale · Nombres complexes
Nombres complexes et trigonométrie
Multiplier, c’est additionner les angles.
En bref
La forme exponentielle transforme les identités trigonométriques les plus pénibles en simples règles de calcul sur les puissances.
La notation exponentielle
Pour tout réel θ : e^(iθ) = cos θ + i sin θ
Tout complexe non nul de module r et d’argument θ s’écrit z = r e^(iθ).
Ce n’est pas une convention arbitraire : elle est choisie parce que e^(iθ) × e^(iθ′) = e^(i(θ+θ′)), exactement comme les exponentielles réelles.
Les valeurs remarquables
| Angle | Valeur |
|---|---|
| e^(i0) | 1 |
| e^(iπ/2) | i |
| e^(iπ) | −1 |
| e^(3iπ/2) | −i |
| e^(2iπ) | 1 |
L’identité e^(iπ) + 1 = 0 réunit en cinq symboles les cinq constantes fondamentales des mathématiques.
Les règles de calcul
| Opération | Résultat |
|---|---|
| Produit | r r′ e^(i(θ+θ′)) |
| Quotient | (r/r′) e^(i(θ−θ′)) |
| Formule de Moivre | (r e^(iθ))ⁿ = rⁿ e^(inθ) |
| Conjugué | r e^(−iθ) |
| Inverse | (1/r) e^(−iθ) |
Élever à une puissance devient immédiat, là où la forme algébrique exigerait de développer un binôme.
Les formules d’Euler
En additionnant et en soustrayant e^(iθ) et e^(−iθ) :
cos θ = (e^(iθ) + e^(−iθ)) / 2 et sin θ = (e^(iθ) − e^(−iθ)) / (2i)
Elles servent à linéariser : transformer cos²θ ou sin³θ en une somme de cosinus et de sinus d’angles multiples — indispensable pour intégrer ces expressions.
Les quatre applications
| Application | La méthode |
|---|---|
| Formules d’addition | Développer e^(i(a+b)) = e^(ia) e^(ib), puis identifier parties réelles et imaginaires |
| Formules de duplication | Même méthode, avec e^(2iθ) |
| Linéarisation | Les formules d’Euler |
| Factorisation de e^(ia) + e^(ib) | Mettre en facteur l’exponentielle de l’angle moyen |
On ne mémorise plus les formules de trigonométrie : on les retrouve en trois lignes.
Les racines n-ièmes de l’unité
Les solutions de zⁿ = 1 sont les n complexes e^(2ikπ/n), pour k de 0 à n−1.
| Propriété | Ce qu’elle donne |
|---|---|
| Leurs images | Un polygone régulier à n côtés inscrit dans le cercle unité |
| Leur somme | Nulle, dès que n est supérieur ou égal à 2 |
La forme algébrique sert à additionner, la forme exponentielle à multiplier et à élever à une puissance. Choisir la bonne écriture avant de calculer économise la moitié du travail.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Que vaut e^(iθ) ?
2.Que dit la formule de Moivre ?
3.Quelle est l’expression de cos θ par les formules d’Euler ?
4.Que vaut e^(iπ) ?
5.À quoi servent les formules d’Euler ?
6.Quel est le conjugué de r e^(iθ) ?
0 / 6 questions
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