Mathématiques (voie techno) · Terminale · Analyse
Étudier une fonction avec la fonction inverse
Dériver, réduire, étudier le signe.
En bref
Un fabricant cherche la quantité qui rend le coût moyen le plus bas ; un ingénieur, les dimensions d’une boîte qui économisent le plus de matière.
Un fabricant cherche la quantité qui rend le coût moyen le plus bas ; un ingénieur, les dimensions d’une boîte qui économisent le plus de matière. Ces problèmes mènent souvent à une fonction qui mélange polynôme et inverse.
Les dérivées utiles
| f(x) | f′(x) |
|---|---|
| k/x | −k/x² |
| ax + b | a |
| x² | 2x |
| x³ | 3x² |
On dérive terme à terme : f(x) = x + 16/x donne f′(x) = 1 − 16/x².
Étudier le signe de f′ : mettre au même dénominateur
1 − 16/x² = (x² − 16) ÷ x² = (x − 4)(x + 4) ÷ x².
Sur ]0 ; +∞[, x² > 0 et x + 4 > 0 : le signe de f′ est celui de x − 4.
| x | 0 | … | 4 | … |
|---|---|---|---|---|
| f′(x) | ‖ | − | 0 | + |
| f | ‖ | décroissante | 8 | croissante |
Le minimum est f(4) = 4 + 16/4 = 8.
La méthode complète
- Préciser l’intervalle d’étude (souvent ]0 ; +∞[ pour une quantité).
- Dériver terme à terme.
- Réduire f′(x) au même dénominateur.
- Étudier le signe du numérateur (le dénominateur x² est positif).
- Dresser le tableau de variations et calculer l’extremum avec f.
Le dénominateur x² ne s’annule qu’en 0, valeur interdite : il n’influence pas le signe, mais il faut l’écrire.
Un problème de coût moyen
Le coût total de fabrication de q centaines d’objets est C(q) = 2q² + 50 (en centaines d’euros). Le coût moyen est C_M(q) = C(q) ÷ q = 2q + 50/q.
- C_M′(q) = 2 − 50/q² = (2q² − 50) ÷ q² = 2(q − 5)(q + 5) ÷ q².
- Sur ]0 ; +∞[, le signe est celui de q − 5.
- Minimum pour q = 5 : C_M(5) = 10 + 10 = 20.
Le coût moyen est minimal pour 500 objets et vaut alors 20 centaines d’euros par centaine d’objets, soit 20 € par objet.
Pour un optimum : dériver, réduire au même dénominateur, étudier le signe du numérateur.
Exemple travaillé
f(x) = x² + 2/x sur ]0 ; +∞[.
- f′(x) = 2x − 2/x² = (2x³ − 2) ÷ x² = 2(x³ − 1) ÷ x².
- x³ − 1 est négatif pour x < 1, positif pour x > 1 (car x³ est croissante et 1³ = 1).
- Minimum en 1 : f(1) = 1 + 2 = 3.
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6 questions pour vérifier
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1.Quelle est la dérivée de f(x) = 16/x ?
2.Quelle est la dérivée de f(x) = x + 16/x ?
3.1 − 16/x² s’écrit aussi…
4.Quel est le minimum de f(x) = x + 16/x sur ]0 ; +∞[ ?
5.Pour C_M(q) = 2q + 50/q, pour quelle valeur de q le coût moyen est-il minimal ?
6.Quelle est la valeur minimale de C_M(q) = 2q + 50/q ?
0 / 6 questions
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