Maths · Terminale · Algèbre et géométrie
Droites, plans et vecteurs de l’espace
Une coordonnée de plus, une notion neuve.
En bref
La géométrie de l’espace reprend tous les outils du plan, avec une coordonnée de plus — et une question nouvelle : deux droites peuvent ne se couper ni être parallèles.
Les vecteurs de l’espace
Un vecteur se décompose sur une base de trois vecteurs non coplanaires : u = x i + y j + z k, noté u(x ; y ; z).
Somme, produit par un réel et colinéarité s’écrivent coordonnée par coordonnée, exactement comme dans le plan. Deux vecteurs sont colinéaires s’il existe un réel k tel que v = k u.
La nouveauté : les vecteurs coplanaires
Trois vecteurs u, v, w sont coplanaires s’il existe deux réels a et b tels que w = a u + b v — autrement dit si w se décompose sur u et v.
Cette notion n’a aucun équivalent dans le plan : c’est la nouveauté du chapitre. Trois vecteurs non coplanaires forment une base de l’espace.
Repère et coordonnées
| Objet | Sa formule |
|---|---|
| Coordonnées de AB | (xB − xA ; yB − yA ; zB − zA) |
| Milieu de [AB] | La moyenne des coordonnées |
| Distance AB | √((xB−xA)² + (yB−yA)² + (zB−zA)²), en repère orthonormé seulement |
Caractériser une droite, caractériser un plan
| Droite | Plan | |
|---|---|---|
| Ce qui la définit | Un point A et un vecteur directeur u non nul | Un point A et deux vecteurs directeurs non colinéaires |
| Autres définitions | — | Trois points non alignés ; ou une droite et un point hors d’elle |
| M lui appartient si… | AM est colinéaire à u | AM, u et v sont coplanaires |
Les théorèmes à connaître
| Théorème | Son énoncé |
|---|---|
| Parallélisme droite-plan | Si une droite est parallèle à une droite d’un plan, elle est parallèle à ce plan |
| Plans parallèles | Deux plans parallèles coupés par un troisième déterminent deux droites parallèles |
| Théorème du toit | Si deux plans sécants contiennent chacun l’une de deux droites parallèles, leur intersection est parallèle à ces droites |
Ce qui change vraiment
| Dans le plan | Dans l’espace |
|---|---|
| Deux droites sont sécantes ou parallèles | Elles peuvent être non coplanaires : ni sécantes, ni parallèles |
Vérifier la coplanarité est donc le premier réflexe avant de chercher une intersection.
Toute la géométrie du chapitre se ramène à des calculs sur des coordonnées : dès qu’une configuration résiste, poser un repère et calculer.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Quand trois vecteurs de l’espace sont-ils coplanaires ?
2.Comment caractérise-t-on un plan de l’espace ?
3.Dans l’espace, deux droites qui ne se coupent pas sont nécessairement parallèles.
4.Un point M appartient à la droite passant par A de vecteur directeur u si…
5.Dans quel type de repère la formule de la distance AB est-elle valable ?
6.Que dit le théorème du toit ?
0 / 6 questions
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La fiche de révision, sur une page
Tout « Vecteurs de l’espace » sur une seule page A4 illustrée : l’essentiel, les pièges et un mini-test. Elle se débloque dans l’app avec des gemmes — et ton compte gratuit en offre assez pour tes trois premières fiches.
