Maths · Terminale · Algèbre et géométrie
Factorielle, k-uplet, permutation et combinaison
L’ordre compte-t-il ? Peut-on répéter ?
En bref
Dénombrer, c’est compter le nombre d’issues sans les écrire toutes.
Dénombrer, c’est compter le nombre d’issues sans les écrire toutes. Deux questions décident de la formule : l’ordre compte-t-il ? et peut-on répéter ?
Le tableau de décision
| L’ordre compte | Répétition possible | La formule | Le nom |
|---|---|---|---|
| Oui | Oui | n^k | Le k-uplet |
| Oui | Non | n! / (n−k)! | L’arrangement |
| Oui | Non, et k = n | n! | La permutation |
| Non | Non | n! / (k! (n−k)!) | La combinaison |
La factorielle
n! = n × (n−1) × … × 2 × 1, avec la convention 0! = 1. Elle compte le nombre de façons d’ordonner n objets distincts.
Les k-uplets
Liste ordonnée de k éléments, avec répétition : c’est le tirage avec remise.
Un code à 4 chiffres offre 10⁴ = 10 000 possibilités.
Les arrangements
Liste ordonnée sans répétition : le tirage sans remise où l’ordre compte.
Un podium de 3 places parmi 8 coureurs : 8 × 7 × 6 = 336.
Les combinaisons
Une partie à k éléments d’un ensemble à n : ni ordre, ni répétition. On la note « k parmi n ».
Le k! au dénominateur efface justement l’ordre : on part des arrangements, et on divise par le nombre de façons d’ordonner les k éléments choisis.
Une main de 5 cartes dans un jeu de 32 : C(32,5) = 201 376.
Les propriétés
| Propriété | Son énoncé | Sa lecture |
|---|---|---|
| Symétrie | C(n,k) = C(n, n−k) | Choisir k éléments, c’est en écarter n−k |
| Relation de Pascal | C(n,k) = C(n−1, k−1) + C(n−1, k) | Un élément donné est dans la partie, ou n’y est pas |
| Cas particuliers | C(n,0) = C(n,n) = 1 ; C(n,1) = n | — |
| Somme | La somme de tous les C(n,k) vaut 2ⁿ | Le nombre total de parties d’un ensemble à n éléments |
La relation de Pascal est celle qui construit le triangle de Pascal.
Les combinaisons resservent immédiatement : le coefficient C(n,k) est exactement celui de la loi binomiale, où il compte les façons d’obtenir k succès parmi n épreuves.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Que vaut 0! par convention ?
2.Combien y a-t-il de k-uplets d’un ensemble à n éléments ?
3.Quelle formule compte les tirages ordonnés sans remise de k éléments parmi n ?
4.Que vaut C(n,k) ?
5.Que dit la relation de Pascal ?
6.C(n,k) = C(n, n−k).
0 / 6 questions
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