Maths · Terminale · Algèbre et géométrie
Positions relatives de droites et de plans de l’espace
Combien de points communs ? 0, 1 ou ∞.
En bref
Étudier une position relative, c’est répondre à une seule question : combien de points communs ?
Étudier une position relative, c’est répondre à une seule question : combien de points communs ? Zéro, un, ou une infinité.
Deux droites — trois cas, et non deux
| Cas | Points communs | Comment le reconnaître |
|---|---|---|
| Coplanaires et sécantes | Un | Directeurs non colinéaires, système avec une solution |
| Coplanaires et parallèles | Aucun, ou infinité si confondues | Directeurs colinéaires |
| Non coplanaires | Aucun — et pourtant pas parallèles | Directeurs non colinéaires, système sans solution |
La méthode : les vecteurs directeurs sont-ils colinéaires ? Si oui, les droites sont parallèles — confondues si un point de l’une appartient à l’autre. Sinon, on résout le système.
Droite et plan
| Cas | Points communs |
|---|---|
| La droite est incluse dans le plan | Une infinité |
| Elle est strictement parallèle | Aucun |
| Elle est sécante | Un seul |
Critère : si le vecteur directeur de la droite est orthogonal au vecteur normal du plan, la droite est parallèle au plan — incluse si un de ses points y appartient. Sinon elle est sécante.
Deux plans
| Cas | Intersection |
|---|---|
| Confondus | Le plan lui-même |
| Strictement parallèles | Aucune |
| Sécants | Une droite — jamais un point |
Critère : les vecteurs normaux sont-ils colinéaires ?
Trois plans
Un point unique (les trois normaux non coplanaires), une droite, un plan, ou aucun point commun — la configuration en « prisme », où les plans se coupent deux à deux selon trois droites parallèles distinctes.
Le lien avec les systèmes
| Le système a… | La position relative |
|---|---|
| Une solution unique | Sécants |
| Une infinité | Inclusion, ou intersection selon une droite |
| Aucune | Parallélisme strict ou non-coplanarité |
La méthode générale
- Écrire une représentation paramétrique de chaque droite et une équation cartésienne de chaque plan ;
- Substituer l’une dans l’autre ;
- Lire le nombre de solutions.
Substituer la paramétrique d’une droite dans l’équation d’un plan donne une équation en un seul paramètre : une solution → un point ; aucune → parallèle stricte ; identité vraie pour tout paramètre → droite incluse.
Erreur récurrente : conclure « parallèles » dès que le système n’a pas de solution. Dans l’espace, l’absence de solution peut aussi signaler des droites non coplanaires.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Combien de positions relatives deux droites de l’espace peuvent-elles avoir ?
2.Que peut être l’intersection de deux plans sécants ?
3.Quand une droite est-elle parallèle à un plan ?
4.Deux plans dont les vecteurs normaux sont colinéaires sont…
5.Si le système d’intersection de deux droites n’a pas de solution, elles sont parallèles.
6.Que signifie une identité vraie pour tout paramètre après substitution d’une droite dans un plan ?
0 / 6 questions
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