Maths · Terminale · Algèbre et géométrie
Produit scalaire, orthogonalité et distances dans l’espace
Orthogonalité et distances : tout se calcule.
En bref
Le produit scalaire est le seul outil qui relie longueurs et angles à des coordonnées.
Le produit scalaire est le seul outil qui relie longueurs et angles à des coordonnées. Il fournit le critère d’orthogonalité et toutes les distances du chapitre.
Les trois expressions
| Expression | Sa formule | Quand l’employer |
|---|---|---|
| Par coordonnées (repère orthonormé) | xx′ + yy′ + zz′ | Pour calculer |
| Par norme et angle | ‖u‖ × ‖v‖ × cos(θ) | Pour trouver un angle |
| Par projection | ‖u‖ × la longueur du projeté de v sur u, au signe près | Pour interpréter |
Les propriétés
Symétrie, bilinéarité, et u · u = ‖u‖². Les identités remarquables s’appliquent aux vecteurs :
‖u + v‖² = ‖u‖² + 2 u · v + ‖v‖²
Le critère d’orthogonalité
Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.
C’est le résultat le plus utilisé du chapitre : toute question d’orthogonalité devient une somme de produits.
Le vecteur normal à un plan
Un vecteur normal est orthogonal à tous les vecteurs du plan — il suffit qu’il le soit à deux vecteurs directeurs non colinéaires.
Le plan passant par A et de vecteur normal n(a ; b ; c) admet l’équation cartésienne :
ax + by + cz + d = 0
Les coefficients a, b, c sont exactement les coordonnées d’un vecteur normal. Lire un vecteur normal sur une équation de plan est donc immédiat.
Le projeté orthogonal
Le point du plan (ou de la droite) le plus proche de M. La distance de M au plan est la distance à son projeté.
Pour le calculer : écrire la droite passant par M de vecteur directeur n, et chercher son intersection avec le plan.
Les distances
| Distance | Comment l’obtenir |
|---|---|
| D’un point à un plan | La valeur absolue de (a·xM + b·yM + c·zM + d), divisée par √(a² + b² + c²) |
| D’un point à une droite | Par le projeté orthogonal |
Les usages classiques
Sphère (points à distance R d’un centre), position relative d’une sphère et d’un plan (comparer la distance du centre au plan et le rayon), calcul d’un angle, démonstration d’une orthogonalité, recherche d’un minimum de distance.
Deux réflexes traitent presque tout le chapitre : « orthogonal » se traduit par « produit scalaire nul », et « distance minimale » par « projeté orthogonal ».
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Quelle est l’expression du produit scalaire en repère orthonormé ?
2.Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si…
3.Dans l’équation ax + by + cz + d = 0, que représente le triplet (a ; b ; c) ?
4.Que vaut u · u ?
5.Qu’est-ce que le projeté orthogonal d’un point sur un plan ?
6.Il suffit qu’un vecteur soit orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires d’un plan pour lui être normal.
0 / 6 questions
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