Maths · Terminale · Algèbre et géométrie
Représentations paramétriques de droites et équations cartésiennes de plans de l’espace
Un point et un vecteur : droite ou plan.
En bref
Une droite et un plan s’écrivent avec deux outils différents, et savoir passer de l’un à l’autre est ce que les exercices demandent le plus souvent.
Les deux écritures
| Représentation paramétrique | Équation cartésienne | |
|---|---|---|
| Elle décrit naturellement | Une droite | Un plan |
| Ce qu’on y lit | Un point (les constantes) et un vecteur directeur (les coefficients du paramètre) | Un vecteur normal (les coefficients a, b, c) |
| Test d’appartenance d’un point | Il faut résoudre un système | On remplace et on regarde si l’égalité est vraie |
La paramétrique d’une droite
Pour A(xA ; yA ; zA) et u(a ; b ; c) :
x = xA + a t
y = yA + b t
z = zA + c t, avec t décrivant ℝ
Chaque valeur du paramètre t donne un point de la droite, et un seul.
Elle n’est pas unique : changer de point de base ou multiplier le directeur par un réel non nul décrit la même droite. Pour vérifier que deux paramétriques coïncident : tester la colinéarité des directeurs, puis l’appartenance d’un point de l’une à l’autre.
L’équation cartésienne d’un plan
| Étape | Ce qu’on fait |
|---|---|
| 1 | Trouver un vecteur normal — souvent par produit scalaire nul avec deux directeurs, ce qui donne un système |
| 2 | Écrire ax + by + cz + d = 0 |
| 3 | Déterminer d en injectant les coordonnées d’un point connu |
Elle non plus n’est pas unique : multiplier toute l’équation par un réel non nul donne le même plan.
Intersection d’une droite et d’un plan
Le calcul le plus fréquent de l’épreuve : on substitue x, y et z de la paramétrique dans l’équation cartésienne, ce qui donne une équation du premier degré en t.
| Ce qu’on obtient | La conclusion |
|---|---|
| Une solution | Un point d’intersection, obtenu en reportant t |
| Aucune solution — du type 0 = 5 | Droite strictement parallèle au plan |
| Une identité — du type 0 = 0 | Droite incluse dans le plan |
Intersection de deux plans
On résout le système des deux équations cartésiennes. En exprimant deux inconnues en fonction de la troisième, prise comme paramètre, on obtient directement une représentation paramétrique de la droite d’intersection.
Le passage paramétrique → cartésien pour une droite se fait en éliminant t entre les trois équations : on obtient deux équations, car une droite de l’espace est l’intersection de deux plans.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Dans une représentation paramétrique de droite, que représentent les coefficients du paramètre t ?
2.Une représentation paramétrique d’une droite est unique.
3.Comment obtient-on l’intersection d’une droite et d’un plan ?
4.Après substitution, on obtient une égalité du type 0 = 5. Que conclure ?
5.Comment détermine-t-on le coefficient d dans ax + by + cz + d = 0 ?
6.Comment obtenir une paramétrique de la droite d’intersection de deux plans ?
0 / 6 questions
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