Mathématiques (voie techno) · Première · Analyse
Les fonctions polynômes du second degré
Une parabole, des racines, un signe.
En bref
La trajectoire d’un ballon, le bénéfice d’une entreprise selon la quantité produite : beaucoup de situations se modélisent par une fonction du second degré, dont la courbe est une parabole.
La forme générale
f(x) = ax² + bx + c avec a ≠ 0.
| Le signe de a | La parabole | L’extremum |
|---|---|---|
| a > 0 | Ouverte vers le haut | Un minimum au sommet |
| a < 0 | Ouverte vers le bas | Un maximum au sommet |
Trois formes à reconnaître
| La forme | Ce qu’on en lit |
|---|---|
| f(x) = ax² | Sommet O(0 ; 0), axe de symétrie x = 0 |
| f(x) = ax² + c | Sommet (0 ; c), axe de symétrie x = 0 |
| f(x) = a(x − x1)(x − x2) | Racines x1 et x2, axe de symétrie x = (x1 + x2) ÷ 2 |
La parabole est symétrique par rapport à la droite verticale passant par son sommet : l’abscisse du sommet est au milieu des racines.
Les racines et le signe
Une racine est un nombre x tel que f(x) = 0. Pour vérifier que 3 est racine de x² − x − 6 : 9 − 3 − 6 = 0.
Si l’on connaît une racine, on peut factoriser : x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2).
Signe de a(x − x1)(x − x2) avec x1 < x2 :
| x | avant x1 | entre x1 et x2 | après x2 |
|---|---|---|---|
| f(x) | signe de a | signe contraire de a | signe de a |
Le calcul des racines par le discriminant n’est pas au programme : on travaille avec la forme factorisée, des racines évidentes ou le graphique.
Trouver l’axe sans formule
Pour f(x) = x² − 4x + 7 : f(x) = 7 revient à x² − 4x = 0, soit x(x − 4) = 0. Les points d’abscisses 0 et 4 ont la même image : l’axe est au milieu, x = 2, et le sommet est (2 ; f(2)) = (2 ; 3).
Deux points de même ordonnée sur une parabole : l’axe de symétrie passe au milieu.
Exemple travaillé
f(x) = 2(x − 1)(x − 5).
- Racines : 1 et 5.
- Axe de symétrie : x = (1 + 5) ÷ 2 = 3.
- Sommet : f(3) = 2 × 2 × (−2) = −8. Comme a = 2 > 0, −8 est le minimum.
- Signe : f(x) < 0 sur ]1 ; 5[, f(x) > 0 en dehors.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.La parabole de f(x) = −3x² + 1 est…
2.Quelles sont les racines de f(x) = (x − 2)(x + 4) ?
3.Quel est l’axe de symétrie de la parabole de f(x) = 2(x − 1)(x − 5) ?
4.Quel est le minimum de f(x) = 2(x − 1)(x − 5) ?
5.Sur ]1 ; 5[, le signe de (x − 1)(x − 5) est…
6.Quel est le sommet de la parabole de f(x) = x² + 4 ?
0 / 6 questions
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