Mathématiques (voie techno) · Première · Analyse
Les suites numériques : générer et représenter
Pas à pas, ou d’un seul saut.
En bref
Le nombre d’abonnés d’une chaîne mois après mois, un capital année après année : quand une grandeur évolue par étapes, on la modélise par une suite.
Qu’est-ce qu’une suite ?
Une suite associe à chaque entier naturel n un nombre noté u(n), le terme de rang n. On écrit aussi u_n.
u(n) ne veut pas dire u × n : c’est le terme numéro n.
Deux façons de générer une suite
| Mode | Ce qu’on donne | Exemple | Avantage |
|---|---|---|---|
| Explicite | u(n) en fonction de n | u(n) = 3n + 1 | On calcule u(100) directement |
| Par récurrence | Le premier terme et le passage d’un terme au suivant | u(0) = 2 et u(n+1) = 2u(n) − 1 | Colle à un processus réel, étape par étape |
Avec la récurrence, pour obtenir u(10), il faut calculer tous les termes précédents.
Représenter une suite
On place les points de coordonnées (n ; u(n)) : c’est un nuage de points isolés, jamais une courbe continue, puisque n ne prend que des valeurs entières.
Le sens de variation
| Si pour tout n… | La suite est… |
|---|---|
| u(n+1) − u(n) > 0 | Croissante |
| u(n+1) − u(n) < 0 | Décroissante |
| u(n+1) − u(n) = 0 | Constante |
Exemple : u(n) = 5 − 2n. u(n+1) − u(n) = 5 − 2(n+1) − (5 − 2n) = −2 < 0 : la suite est décroissante.
Toutes les suites ne sont ni arithmétiques ni géométriques : u(n) = n² ou u(n) = 1 ÷ (n+1) en sont des exemples.
Chercher un seuil avec un algorithme
Question classique : à partir de quel rang la suite dépasse-t-elle 100 ? Pour u(0) = 2 et u(n+1) = 2u(n) − 1, on programme une boucle qui calcule les termes tant que le seuil n’est pas franchi.
n ← 0
u ← 2
tant que u ≤ 100 :
n ← n + 1
u ← 2 × u − 1
afficher nL’algorithme affiche le premier rang pour lequel u(n) > 100.
Explicite : on saute directement au rang voulu. Récurrence : on avance pas à pas.
Exemple travaillé
u(0) = 2 et u(n+1) = 2u(n) − 1.
- u(1) = 2 × 2 − 1 = 3.
- u(2) = 2 × 3 − 1 = 5.
- u(3) = 2 × 5 − 1 = 9.
Les écarts (1, 2, 4) ne sont pas constants et les quotients (1,5 ; 1,67 ; 1,8) non plus : la suite n’est ni arithmétique ni géométrique.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Si u(n) = 3n + 1, combien vaut u(4) ?
2.u(0) = 2 et u(n+1) = 2u(n) − 1. Combien vaut u(2) ?
3.Si u(n) = n², combien vaut u(3) ?
4.Comment représente-t-on graphiquement une suite ?
5.Si u(n+1) − u(n) > 0 pour tout n, la suite est…
6.La suite u(n) = 5 − 2n est…
0 / 6 questions
Dans l’app, ce chapitre a son quiz complet, chronométré, et tes erreurs reviennent au bon moment pour ne plus les refaire.
La fiche de révision, sur une page
Tout « Générer une suite » sur une seule page A4 illustrée : l’essentiel, les pièges et un mini-test. Elle se débloque dans l’app avec des gemmes — et ton compte gratuit en offre assez pour tes trois premières fiches.
