Mathématiques (voie techno) · Première · Analyse
Taux de variation, nombre dérivé et tangente
De la sécante à la tangente.
En bref
Un compteur de voiture affiche une vitesse à un instant, pas une moyenne sur le trajet.
Un compteur de voiture affiche une vitesse à un instant, pas une moyenne sur le trajet. Le nombre dérivé est l’outil mathématique de cette vitesse instantanée.
Le taux de variation
Entre deux valeurs a et b de la variable :
taux de variation = (f(b) − f(a)) ÷ (b − a)
C’est le coefficient directeur de la sécante passant par les points A(a ; f(a)) et B(b ; f(b)). Pour la fonction carré entre 1 et 3 : (9 − 1) ÷ (3 − 1) = 4.
Si d(t) est la distance parcourue au temps t, le taux de variation entre deux instants est une vitesse moyenne.
Le nombre dérivé
On rapproche b de a en posant b = a + h, avec h de plus en plus petit :
taux en a = (f(a + h) − f(a)) ÷ h
Quand h se rapproche de 0, ce taux se rapproche d’un nombre : le nombre dérivé de f en a, noté f′(a).
Pour f(x) = x² en a = 1 : ((1 + h)² − 1) ÷ h = (2h + h²) ÷ h = 2 + h. Quand h tend vers 0, on obtient f′(1) = 2.
La tangente
Quand B se rapproche de A, la sécante (AB) se rapproche d’une position limite : la tangente à la courbe en A.
f′(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse a.
équation de la tangente : y = f′(a)(x − a) + f(a)
| f′(a) | La tangente en a |
|---|---|
| f′(a) > 0 | Monte |
| f′(a) < 0 | Descend |
| f′(a) = 0 | Horizontale |
Lire un nombre dérivé sur un graphique
On lit le coefficient directeur de la tangente tracée : si elle passe par (0 ; 1) et (2 ; 5), alors f′(a) = (5 − 1) ÷ (2 − 0) = 2.
Dans les autres disciplines
| Domaine | Le taux de variation | Le nombre dérivé |
|---|---|---|
| Mouvement | Vitesse moyenne | Vitesse instantanée |
| Économie | Coût moyen d’un lot supplémentaire | Coût marginal |
Exemple travaillé
f(2) = 5 et f′(2) = 3. Équation de la tangente en 2 :
- y = 3(x − 2) + 5.
- y = 3x − 6 + 5, soit y = 3x − 1.
- Vérification : pour x = 2, y = 5, la tangente passe bien par le point de la courbe.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Quel est le taux de variation de la fonction carré entre 1 et 3 ?
2.Le taux de variation entre a et b est le coefficient directeur…
3.Le nombre dérivé f′(a) est le coefficient directeur…
4.f(2) = 5 et f′(2) = 3. Quelle est l’équation de la tangente en 2 ?
5.Pour f(x) = x², le taux de variation entre 1 et 1 + h vaut…
6.Pour f(x) = x², combien vaut f′(1) ?
0 / 6 questions
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