Mathématiques (voie techno) · Première · Analyse
Les suites arithmétiques
On ajoute toujours la même quantité.
En bref
Un abonnement qui coûte 30 € puis 5 € de plus chaque mois, un salaire qui augmente de 40 € par an : quand on ajoute toujours la même quantité, la suite est arithmétique.
Un abonnement qui coûte 30 € puis 5 € de plus chaque mois, un salaire qui augmente de 40 € par an : quand on ajoute toujours la même quantité, la suite est arithmétique. On parle de croissance linéaire.
Définition
Une suite est arithmétique de raison r si, pour tout n :
u(n+1) = u(n) + r
Pour démontrer qu’une suite est arithmétique, on calcule u(n+1) − u(n) et on montre que ce nombre est constant.
Le terme de rang n
u(n) = u(0) + n × r
u(n) = u(1) + (n − 1) × r
Plus généralement, pour deux rangs p et n : u(n) = u(p) + (n − p) × r.
Le sens de variation
| La raison | La suite |
|---|---|
| r > 0 | Croissante |
| r < 0 | Décroissante |
| r = 0 | Constante |
La représentation graphique
Les points (n ; u(n)) sont alignés : ils sont sur la droite d’équation y = rx + u(0). C’est le lien avec les fonctions affines.
Reconnaître le modèle
| Situation | Modèle arithmétique ? |
|---|---|
| « + 40 € chaque année » | Oui, r = 40 |
| « − 3 élèves par an » | Oui, r = −3 |
| « + 3 % par an » | Non : c’est une évolution relative, donc géométrique |
| 2 ; 6 ; 18 ; 54 | Non : les écarts 4, 12, 36 ne sont pas constants |
Arithmétique = écart constant = évolution absolue constante.
Au tableur
En A1 on écrit le rang 0, en B1 le premier terme. Pour la récurrence, on tape en B2 la formule =B1+15 et on la recopie vers le bas : chaque cellule reprend la précédente et ajoute la raison. Pour la forme explicite, on tape =250+15*A2 : chaque cellule se calcule directement à partir du rang. Les deux colonnes doivent donner les mêmes nombres, ce qui est une bonne vérification.
Chercher un seuil
Avec u(0) = 10 et r = 7, quand dépasse-t-on 100 ?
10 + 7n > 100 donne 7n > 90, soit n > 12,86… Le premier rang est n = 13 (u(13) = 101).
Exemple travaillé
Une salle de sport compte 250 inscrits en janvier (n = 0) et gagne 15 inscrits par mois.
- u(n+1) = u(n) + 15 : suite arithmétique de raison 15.
- u(n) = 250 + 15n.
- En décembre (n = 11) : u(11) = 250 + 165 = 415 inscrits.
- On atteint 400 quand 15n ≥ 150, soit n ≥ 10 : en novembre.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.u(0) = 4 et r = 3. Combien vaut u(5) ?
2.u(1) = 10 et r = −2. Combien vaut u(6) ?
3.Pour démontrer qu’une suite est arithmétique, on montre que…
4.Quelle est la raison de la suite arithmétique 7 ; 11 ; 15 ; … ?
5.Une suite arithmétique de raison négative est…
6.Les points représentant une suite arithmétique sont alignés.
0 / 6 questions
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La fiche de révision, sur une page
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