Mathématiques (voie techno) · Première · Analyse
Les suites géométriques
On multiplie toujours par le même nombre.
En bref
Un capital placé à 2 % par an, une population qui baisse de 5 % chaque année : quand une grandeur évolue d’un même pourcentage à chaque étape, on la multiplie toujours par le même nombre.
Un capital placé à 2 % par an, une population qui baisse de 5 % chaque année : quand une grandeur évolue d’un même pourcentage à chaque étape, on la multiplie toujours par le même nombre. La suite est géométrique ; on parle de croissance exponentielle.
Définition
Une suite (à termes strictement positifs) est géométrique de raison q (q > 0) si, pour tout n :
u(n+1) = q × u(n)
Pour démontrer qu’une suite est géométrique, on montre que le quotient u(n+1) ÷ u(n) est constant.
Du pourcentage à la raison
| Évolution à chaque étape | Raison q |
|---|---|
| + 3 % | 1,03 |
| + 10 % | 1,1 |
| − 5 % | 0,95 |
| − 20 % | 0,8 |
Le terme de rang n
u(n) = u(0) × q^n
u(n) = u(1) × q^(n−1)
Le sens de variation (termes positifs)
| La raison | La suite |
|---|---|
| q > 1 | Croissante |
| 0 < q < 1 | Décroissante |
| q = 1 | Constante |
Deux croissances comparées
| Arithmétique | Géométrique | |
|---|---|---|
| On passe au terme suivant en… | Ajoutant r | Multipliant par q |
| Évolution | Absolue constante | Relative constante |
| Points | Alignés | Sur une courbe qui s’incurve |
Pour q > 1, une suite géométrique finit toujours par dépasser n’importe quelle suite arithmétique, même si elle part plus bas : la croissance exponentielle l’emporte à long terme.
Ne confonds pas : « + 3 % par an » est géométrique (q = 1,03), « + 3 € par an » est arithmétique (r = 3).
Géométrique = quotient constant = pourcentage d’évolution constant.
Chercher un seuil
Sans calculatrice ni logarithme, on avance terme à terme. Une population de 1 000 bactéries double chaque heure : u(n) = 1 000 × 2^n. Quand dépasse-t-elle 10 000 ? u(3) = 8 000 et u(4) = 16 000 : c’est au bout de 4 heures. Au tableur ou en Python, une boucle « tant que u ≤ 10 000 » donne le même rang.
Exemple travaillé
On place 1 000 € à 10 % d’intérêts composés par an.
- u(n+1) = 1,1 × u(n) : suite géométrique de raison 1,1.
- u(n) = 1 000 × 1,1^n.
- u(1) = 1 100 € ; u(2) = 1 000 × 1,21 = 1 210 €.
- Les intérêts de la 2e année (110 €) dépassent ceux de la 1re (100 €) : ce sont les intérêts des intérêts.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.u(0) = 3 et q = 2. Combien vaut u(4) ?
2.Une hausse de 3 % par an correspond à une raison de…
3.Une baisse de 20 % par an correspond à une raison de…
4.Quelle est la raison de la suite géométrique 5 ; 15 ; 45 ; … ?
5.Une suite géométrique de raison q telle que 0 < q < 1 (termes positifs) est…
6.Si u(n) = 100 × 0,9^n, combien vaut u(2) ?
0 / 6 questions
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