Maths · Première · Analyse
Fonctions de référence et tableau des dérivées
À savoir comme les tables.
En bref
Dériver une fonction, c'est presque toujours la découper en morceaux dont on connaît déjà la dérivée.
Dériver une fonction, c'est presque toujours la découper en morceaux dont on connaît déjà la dérivée. D'où ce tableau, à connaître aussi bien que les tables de multiplication.
Un calcul de dérivée juste commence par le bon domaine : certaines fonctions ne sont pas dérivables partout où elles sont définies.
Les fonctions de référence et leurs dérivées
| La fonction f(x) | Sa dérivée f'(x) | Dérivable sur |
|---|---|---|
| k (constante) | 0 | Tous les réels |
| x | 1 | Tous les réels |
| x² | 2x | Tous les réels |
| x³ | 3x² | Tous les réels |
| x puissance n (n entier ≥ 1) | n × x puissance (n − 1) | Tous les réels |
| 1 / x | −1 / x² | ]−∞ ; 0[ et ]0 ; +∞[ |
| √x | 1 / (2√x) | ]0 ; +∞[ — pas en 0 |
| e puissance x | e puissance x | Tous les réels |
| cos x | −sin x | Tous les réels |
| sin x | cos x | Tous les réels |
La racine carrée est définie en 0 mais n'y est pas dérivable : sa courbe y a une tangente verticale.
Leurs variations
| La fonction | Ses variations |
|---|---|
| Carré | Décroissante sur ]−∞ ; 0], croissante sur [0 ; +∞[ |
| Cube | Croissante sur tous les réels |
| Inverse | Décroissante sur ]−∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[, séparément |
| Racine carrée | Croissante sur [0 ; +∞[ |
| Exponentielle | Croissante sur tous les réels |
Piège : la fonction inverse n'est pas décroissante sur l'ensemble des réels non nuls pris d'un bloc, puisque f(−1) = −1 < f(1) = 1.
La composée affine : g(ax + b)
Si f(x) = g(ax + b), alors f'(x) = a × g'(ax + b). On dérive comme si de rien n'était, puis on multiplie par a.
| La fonction | Sa dérivée |
|---|---|
| (5x − 2)² | 2 × 5 × (5x − 2) = 10 (5x − 2) |
| (2x + 1)³ | 3 × 2 × (2x + 1)² = 6 (2x + 1)² |
| √(3x + 1) | 3 / (2√(3x + 1)) |
| e puissance (−2x) | −2 e puissance (−2x) |
| sin(2x) | 2 cos(2x) |
| 1 / (3x + 1) | −3 / (3x + 1)² |
Exemples travaillés
- f(x) = 4x³ − x + 7 : on dérive terme à terme, f'(x) = 12x² − 1.
- f(x) = x e puissance x : c'est un produit u v avec u = x et v = e puissance x, donc f'(x) = 1 × e puissance x + x e puissance x = (x + 1) e puissance x.
- f(x) = 1 / (x² + 1) : de la forme 1 / v avec v' = 2x, donc f'(x) = −2x / (x² + 1)².
Réflexe : avant de dériver, repérer la forme — somme, produit, quotient, composée affine. La forme dicte la formule.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
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1.Quelle est la dérivée de x³ ?
2.Quelle est la dérivée de √x, pour x > 0 ?
3.La fonction racine carrée est dérivable en 0.
4.Quelle est la dérivée de (5x − 2)² ?
5.Quelle est la dérivée de e puissance (−2x) ?
6.Quelle est la dérivée de x e puissance x ?
0 / 6 questions
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