Maths · Première · Analyse
Fonction exponentielle
Sa dérivée, c’est elle-même.
En bref
La fonction exponentielle est l'unique fonction dérivable sur l'ensemble des réels telle que f' = f et f(0) = 1.
C'est cette propriété qui la fait apparaître partout où une grandeur varie proportionnellement à elle-même : intérêts composés, désintégration radioactive, croissance d'une population, refroidissement d'un corps.
Propriétés algébriques
| L'expression | Sa transformation |
|---|---|
| e puissance (a + b) | e puissance a × e puissance b |
| e puissance (−a) | 1 / (e puissance a) |
| e puissance (a − b) | e puissance a / e puissance b |
| (e puissance a) puissance n | e puissance (n × a) |
En un mot : l'exponentielle transforme les sommes en produits. C'est la propriété qui organise tous les calculs du chapitre.
Signe, variations, limites
| Le point | Ce qu'il faut savoir |
|---|---|
| Signe | e puissance x est strictement positive pour tout réel x |
| Équation e puissance x = 0 | Aucune solution |
| Variations | Sa dérivée étant elle-même, donc positive, elle est strictement croissante sur les réels |
| Valeurs | e puissance 0 = 1 et e ≈ 2,718 |
| Limite en moins l'infini | Elle tend vers 0 |
| Limite en plus l'infini | Elle tend vers plus l'infini, plus vite que n'importe quelle puissance de x |
Puisqu'elle ne s'annule jamais, le signe d'un produit contenant une exponentielle ne dépend jamais d'elle.
Équations et inéquations
La stricte croissance donne les équivalences :
e puissance a = e puissance b équivaut à a = b
e puissance a < e puissance b équivaut à a < b
Le passage à l'exposant conserve l'ordre, contrairement à la multiplication par un nombre négatif.
La dérivée composée
(e puissance u)' = u' × e puissance u
| L'expression | Sa dérivée |
|---|---|
| e puissance (3x) | 3 e puissance (3x) |
| e puissance (−x) | −e puissance (−x) |
| e puissance (x²) | 2x e puissance (x²) |
Oublier le facteur u' coûte le résultat de tout un exercice. C'est le piège le plus fréquent du chapitre.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Quelle propriété caractérise la fonction exponentielle ?
2.Que vaut e puissance (a + b) ?
3.L’équation e puissance x = 0 admet-elle une solution ?
4.La fonction exponentielle est strictement croissante sur l’ensemble des réels.
5.Quelle est la dérivée de e puissance u ?
6.Que vaut la dérivée de e puissance (3x) ?
0 / 6 questions
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