Maths · Première · Analyse
Variations et courbes représentatives de fonctions
Le signe de f′ dessine la courbe.
En bref
Étudier une fonction, c'est suivre un enchaînement fixe.
Étudier une fonction, c'est suivre un enchaînement fixe. Le respecter fait gagner des points même quand un calcul échoue.
La méthode en cinq temps
| L'étape | Ce qu'on fait | Le point d'attention |
|---|---|---|
| 1 | Ensemble de définition | Ce qui interdit une valeur : division par zéro, racine d'un négatif |
| 2 | Calculer f'(x) | La factoriser autant que possible |
| 3 | Étudier le signe de f'(x) | Second degré, règle des signes d'un produit ou d'un quotient |
| 4 | Dresser le tableau de variations | Y porter les valeurs de f aux bornes et aux extremums |
| 5 | Conclure | Extremums, solutions d'une équation, tracé |
Local ou global
| L'extremum | Sur quel domaine |
|---|---|
| Local | Un intervalle autour du point |
| Global | Tout l'ensemble de définition |
Un extremum local n'est pas nécessairement global : un devoir attend souvent cette distinction.
Lecture graphique
| La question | Ce qu'on lit sur le graphique |
|---|---|
| f(a) | L'ordonnée du point d'abscisse a |
| f(x) = k | Les abscisses des intersections avec la droite y = k |
| f(x) > 0 | Les intervalles où la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses |
| f'(x) = 0 | Les points où la tangente est horizontale |
Le théorème des valeurs intermédiaires
Si f est continue et strictement monotone sur [a ; b], et si k est compris entre f(a) et f(b), alors f(x) = k admet une unique solution dans cet intervalle.
On l'encadre ensuite par balayage à la calculatrice, chiffre après chiffre. Sans stricte monotonie, le théorème garantit l'existence d'une solution, mais non son unicité.
Parité et symétries
| La fonction | Sa relation | La symétrie de sa courbe |
|---|---|---|
| Paire | f(−x) = f(x) | Par rapport à l'axe des ordonnées |
| Impaire | f(−x) = −f(x) | Par rapport à l'origine |
Le repérer permet de n'étudier que la moitié du domaine.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Quelle est la première étape de l’étude d’une fonction ?
2.Que signale une tangente horizontale sur une courbe ?
3.Un extremum local est nécessairement un extremum global.
4.Que faut-il pour que le théorème des valeurs intermédiaires garantisse une solution UNIQUE ?
5.Comment résout-on graphiquement f(x) = k ?
6.Une fonction paire a une courbe symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
0 / 6 questions
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