Sciences de l'ingénieur · Première · Transfert de l’information
Algèbre de Boole
Deux valeurs, des règles sûres.
En bref
L'algèbre de Boole manipule des variables ne prenant que deux valeurs.
L'algèbre de Boole manipule des variables ne prenant que deux valeurs. Elle donne les règles qui transforment une équation logique sans changer la fonction décrite.
Les propriétés de base
Avec le point pour le ET et le plus pour le OU :
| La propriété | Avec le ET | Avec le OU |
|---|---|---|
| Élément neutre | a . 1 = a | a + 0 = a |
| Élément absorbant | a . 0 = 0 | a + 1 = 1 |
| Idempotence | a . a = a | a + a = a |
| Complémentarité | a . complément de a = 0 | a + complément de a = 1 |
| Involution | Le complément du complément de a vaut a | — |
« a + complément de a = 1 » est la règle qui simplifie le plus : elle fait disparaître des termes entiers.
Les propriétés structurelles
| La propriété | Son énoncé |
|---|---|
| Commutativité | a . b = b . a et a + b = b + a |
| Associativité | (a . b) . c = a . (b . c) |
| Distributivité du ET sur le OU | a . (b + c) = a . b + a . c — comme en arithmétique |
| Distributivité du OU sur le ET | a + (b . c) = (a + b) . (a + c) — impossible avec des nombres |
Cette dernière égalité est le piège du chapitre : elle serait fausse en algèbre ordinaire.
Les lois de De Morgan
Les deux relations les plus utiles de tout le programme :
le complément de (a . b) = complément de a + complément de b
le complément de (a + b) = complément de a . complément de b
En un mot : on complémente chaque terme et on échange les opérateurs.
Elles servent à transformer un montage pour n'employer qu'un seul type de porte — un montage tout en NON-ET, par exemple.
Le théorème d'absorption
| L'expression | Se réduit à |
|---|---|
| a + (a . b) | a |
| a . (a + b) | a |
Il élimine des termes entiers sans calcul, et c'est souvent lui qui fait passer d'une équation à cinq termes à une équation à deux.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Que vaut a + complément de a ?
2.Que vaut a + 1 en algèbre de Boole ?
3.En algèbre de Boole, le OU est distributif sur le ET.
4.Que donne la loi de De Morgan appliquée au complément de (a . b) ?
5.Que vaut a . a en algèbre de Boole ?
6.À quoi servent principalement les lois de De Morgan ?
0 / 6 questions
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