Sciences de l'ingénieur · Première · Transfert de l’information
Simplification des expressions logiques
Moins de portes, moins de coût.
En bref
Simplifier une expression logique, c'est trouver une écriture équivalente employant moins de termes et moins de variables.
L'enjeu
| Ce qu'on gagne | Pourquoi |
|---|---|
| Moins de portes | Moins de composants, moins de place |
| Moins de consommation | Moins de circuits alimentés |
| Moins de pannes possibles | Moins de points de défaillance |
| Un coût plus bas | Moins de matière et de câblage |
Simplifier par l'algèbre
| L'étape | Ce qu'on applique |
|---|---|
| 1 | Supprimer les compléments doubles |
| 2 | De Morgan, pour faire descendre les compléments sur les variables |
| 3 | Factoriser les termes qui partagent une variable |
| 4 | Faire apparaître « x + complément de x = 1 » pour éliminer une variable entière |
| 5 | Appliquer l'absorption |
La difficulté : aucune méthode ne garantit qu'on est arrivé au plus simple. On peut toujours avoir manqué une factorisation.
Le tableau de Karnaugh
D'où l'intérêt de cette méthode graphique, systématique et sans risque d'oubli.
| La règle | Son contenu |
|---|---|
| Le tableau | 2 puissance n cases, une par ligne de la table de vérité |
| Le voisinage | Deux cases voisines ne diffèrent que par une seule variable |
| Les en-têtes | En code de Gray — 00, 01, 11, 10 — et non en binaire naturel |
| Les groupes | Des rectangles de 1, 2, 4 ou 8 cases, aussi grands que possible, quitte à se chevaucher |
| Les bords | Le tableau se referme : gauche et droite sont voisines, haut et bas aussi |
| La lecture | Chaque groupe donne un terme où l'on ne garde que les variables constantes dans le groupe |
Un groupe deux fois plus grand élimine une variable de plus.
Deux erreurs classiques
| L'erreur | Sa conséquence |
|---|---|
| Écrire les en-têtes en binaire naturel | Les voisinages sont faux, la simplification est fausse |
| Former de petits groupes alors qu'un plus grand était possible | Le résultat reste juste, mais il n'est pas simplifié |
Les cas indifférents
Certaines combinaisons d'entrées ne peuvent pas se produire dans le système réel. On les note φ et on les utilise librement :
| La décision | Quand |
|---|---|
| Les inclure dans un groupe | S'ils l'agrandissent |
| Les ignorer | Sinon |
Ce sont un cadeau pour la simplification.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Pourquoi simplifie-t-on une expression logique ?
2.Pourquoi les en-têtes d’un tableau de Karnaugh suivent-ils un code de Gray ?
3.Quelle doit être la taille d’un groupe dans un tableau de Karnaugh ?
4.Les groupes d’un tableau de Karnaugh peuvent se chevaucher.
5.Les cases des bords gauche et droit d’un tableau de Karnaugh sont-elles voisines ?
6.Que garde-t-on d’un groupe pour écrire son terme ?
0 / 6 questions
Dans l’app, ce chapitre a son quiz complet, chronométré, et tes erreurs reviennent au bon moment pour ne plus les refaire.
La fiche de révision, sur une page
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