Maths · Seconde · Nombres et calculs
Calcul littéral : quotients, puissances, racines carrées
On ne simplifie que des facteurs.
En bref
Le calcul littéral n'est pas une gymnastique gratuite : il transforme une expression pour la rendre lisible, comparable, ou résoluble.
Les puissances
| La règle | Son écriture |
|---|---|
| Produit de même base | aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ |
| Quotient de même base | aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ |
| Puissance de puissance | (aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ |
| Produit élevé à une puissance | (ab)ⁿ = aⁿbⁿ |
| Exposant nul | a⁰ = 1, pour a non nul |
| Exposant négatif | a⁻ⁿ = 1/aⁿ |
La notation scientifique écrit tout nombre sous la forme a × 10ⁿ, où la valeur absolue de a est comprise entre 1 inclus et 10 exclu.
Exemple : (a³)⁴ × a⁻⁵ = a¹² × a⁻⁵ = a⁷.
Les racines carrées
Pour a ≥ 0, √a est l'unique nombre positif dont le carré vaut a.
| L'égalité | Est-elle vraie |
|---|---|
| √(ab) = √a × √b | Vraie |
| √(a/b) = √a / √b, pour b > 0 | Vraie |
| √(a + b) = √a + √b | FAUSSE — la faute la plus fréquente |
| √(a²) = a | Fausse : c'est la valeur absolue de a |
Contre-exemple à retenir : √9 + √16 = 3 + 4 = 7, alors que √(9 + 16) = √25 = 5.
Une racine au dénominateur se rend rationnelle en multipliant haut et bas par la même racine : 1/√2 = √2/2.
Exemple résolu : simplifier une racine
Écrire √72 + √50 sous la forme a√2.
- On cherche le plus grand carré parfait qui divise chaque nombre : 72 = 36 × 2 et 50 = 25 × 2.
- √72 = √36 × √2 = 6√2 et √50 = √25 × √2 = 5√2.
- √72 + √50 = 6√2 + 5√2 = 11√2.
De même, 1/√3 = √3/(√3 × √3) = √3/3.
Les quotients
| La règle | Son contenu |
|---|---|
| Le domaine | Un quotient n'est défini que si le dénominateur est non nul : donner les valeurs interdites |
| Additionner | Réduire au même dénominateur |
| Simplifier | Factoriser numérateur et dénominateur avant de barrer |
Exemple : pour x différent de 3, (x² − 9)/(x − 3) = (x − 3)(x + 3)/(x − 3) = x + 3. On a barré le facteur (x − 3), et la valeur interdite 3 reste exclue.
Les pièges classiques
| L'écriture fausse | Pourquoi |
|---|---|
| (a + b)² = a² + b² | Le double produit manque |
| 1/(a + b) = 1/a + 1/b | L'inverse d'une somme n'est pas la somme des inverses |
| (x + 3)/(x + 5) = 3/5 | On a barré des termes, pas des facteurs |
Dans tous ces cas, la règle est la même : on ne simplifie que des facteurs, jamais des termes.
Réflexe de contrôle : remplacer x par une valeur simple (x = 1) dans l'expression de départ et dans le résultat. Si les deux valeurs diffèrent, le calcul est faux.
Pour la suite
Ces règles sont la grammaire du lycée : on les retrouve dans les fonctions de référence, les dérivées de Première et les exponentielles.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Que vaut a⁵ × a³ ?
2.Que vaut (a³)⁴ ?
3.Que vaut a⁻³ ?
4.√9 + √16 est-il égal à √25 ?
5.Que vaut √(a²) ?
6.La notation scientifique écrit un nombre sous la forme a × 10ⁿ avec 1 ≤ |a| < 10.
0 / 6 questions
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