Maths · Seconde · Nombres et calculs
Nombres entiers : multiples, diviseurs et nombres premiers
Chaque entier a sa décomposition.
En bref
Les entiers ne sont pas interchangeables : chacun se décompose d'une seule manière en produit de nombres premiers.
Multiples et diviseurs
| La formulation | Ce qu'elle dit |
|---|---|
| b divise a | Il existe un entier k tel que a = b × k |
| a est un multiple de b | La même relation, vue de l'autre côté |
Exemple : 7 divise 91, car 91 = 7 × 13. On dit aussi que 91 est un multiple de 7.
Deux propriétés utiles, au programme : la somme de deux multiples de a est un multiple de a ; le carré d'un nombre impair est impair. Démonstration de la seconde : si n = 2k + 1, alors n² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1, qui est impair.
Les critères de divisibilité
| Le diviseur | Le critère |
|---|---|
| 2 | Le chiffre des unités est pair |
| 3 | La somme des chiffres est divisible par 3 |
| 4 | Les deux derniers chiffres forment un nombre divisible par 4 |
| 5 | Le nombre se termine par 0 ou 5 |
| 9 | La somme des chiffres est divisible par 9 |
| 10 | Le nombre se termine par 0 |
Les nombres premiers
Un entier supérieur ou égal à 2 est premier s'il n'admet que deux diviseurs positifs : 1 et lui-même.
Les premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29…
| La question | La réponse |
|---|---|
| 1 est-il premier ? | Non, par convention utile : sinon la décomposition ne serait plus unique |
| Jusqu'où tester les diviseurs de n ? | Jusqu'à √n, en n'essayant que les premiers |
Un nombre premier n'est pas un nombre rare : il y en a une infinité, et Euclide l'a démontré il y a plus de deux mille ans.
Exemple résolu : 221 est-il premier ?
- √221 ≈ 14,9 : il suffit de tester 2, 3, 5, 7, 11 et 13.
- 221 est impair, la somme de ses chiffres (5) n'est pas multiple de 3, il ne finit ni par 0 ni par 5.
- 221 ÷ 7 ≈ 31,6 et 221 ÷ 11 ≈ 20,1 ne tombent pas juste, mais 221 = 13 × 17.
- Conclusion : 221 n'est pas premier.
La décomposition
Tout entier supérieur ou égal à 2 s'écrit de manière unique comme produit de facteurs premiers.
360 = 2³ × 3² × 5
On l'obtient en divisant successivement : 360 = 2 × 180 = 2² × 90 = 2³ × 45 = 2³ × 3 × 15 = 2³ × 3² × 5.
| Son usage | Ce qu'elle permet |
|---|---|
| Simplifier une fraction | Repérer les facteurs communs |
| Trouver le PGCD | Prendre les facteurs communs au plus petit exposant |
| La cryptographie moderne | Multiplier deux grands premiers est facile ; retrouver les facteurs d'un très grand produit ne l'est pas |
Exemple : 360 = 2³ × 3² × 5 et 84 = 2² × 3 × 7, donc PGCD(360 ; 84) = 2² × 3 = 12.
Les erreurs fréquentes
- Dire qu'un nombre impair est premier : 91 = 7 × 13 ne l'est pas.
- Tester les diviseurs jusqu'à n/2 : c'est inutilement long, √n suffit.
- Confondre « a divise b » et « a est un multiple de b ».
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Qu’est-ce qu’un nombre premier ?
2.Le nombre 1 est-il premier ?
3.Quel critère permet de savoir si un nombre est divisible par 3 ?
4.Quelle est la décomposition en facteurs premiers de 360 ?
5.Jusqu’où faut-il tester les diviseurs pour savoir si n est premier ?
6.Il existe une infinité de nombres premiers.
0 / 6 questions
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