Maths · Seconde · Nombres et calculs
Les identités remarquables
Trois formules, dans les deux sens.
En bref
Les identités remarquables servent à développer quand on veut calculer, et à factoriser quand on veut résoudre.
Les trois formules
| L'identité | Son développement |
|---|---|
| (a + b)² | a² + 2ab + b² |
| (a − b)² | a² − 2ab + b² |
| (a + b)(a − b) | a² − b² |
Le terme du milieu, le double produit, est celui que l'on oublie : (a + b)² n'est jamais a² + b².
Ces formules se démontrent par la double distributivité : (a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b². Elles sont vraies pour tous réels a et b, et a ou b peuvent être eux-mêmes des expressions comme 3x.
Développer
| L'expression | Son développement |
|---|---|
| (x + 5)² | x² + 10x + 25 |
| (3x − 2)² | 9x² − 12x + 4 |
| (2x + 7)(2x − 7) | 4x² − 49 |
Le repérage se fait en identifiant a et b avant tout calcul.
Détail pour (3x − 2)² : a = 3x et b = 2 ; a² = 9x², 2ab = 2 × 3x × 2 = 12x, b² = 4.
Factoriser
| L'expression | Sa forme factorisée | L'identité utilisée |
|---|---|---|
| x² − 9 | (x − 3)(x + 3) | La troisième |
| x² + 6x + 9 | (x + 3)² | La première |
| 16x² − 25 | (4x − 5)(4x + 5) | La troisième |
On cherche d'abord un facteur commun, puis une identité remarquable.
La méthode pour factoriser :
- Chercher un facteur commun à tous les termes et le mettre en évidence.
- Compter les termes : deux carrés séparés par un moins, c'est a² − b² ; trois termes dont deux carrés, c'est peut-être (a + b)² ou (a − b)².
- Vérifier le double produit avant de conclure : x² + 10x + 25 = (x + 5)², car 2 × x × 5 = 10x.
- Redévelopper pour contrôler.
Exemple résolu : résoudre grâce à une factorisation
Résoudre (x + 1)² − 16 = 0.
- On reconnaît a² − b² avec a = x + 1 et b = 4.
- On factorise : (x + 1 − 4)(x + 1 + 4) = 0, soit (x − 3)(x + 5) = 0.
- Produit nul : x − 3 = 0 ou x + 5 = 0.
- S = {−5 ; 3}.
Développer sert à calculer ; factoriser sert à résoudre. Une équation se résout presque toujours sous forme factorisée.
À quoi cela sert
| L'usage | Le mécanisme |
|---|---|
| Résoudre une équation | Le produit nul : un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul |
| Simplifier une fraction rationnelle | Faire apparaître un facteur commun |
| Calculer de tête | 101 × 99 = (100 + 1)(100 − 1) = 10 000 − 1 = 9 999 |
| Préparer la Première | La forme canonique du trinôme |
Les erreurs fréquentes
- Écrire (x − 3)² = x² − 9 : il manque −6x.
- Factoriser x² + 9 en (x + 3)(x − 3) : une somme de carrés ne se factorise pas ainsi.
- Oublier les parenthèses : (2x)² = 4x², pas 2x².
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Que vaut (a + b)² ?
2.Que vaut (a + b)(a − b) ?
3.Comment factoriser x² − 49 ?
4.Comment factoriser x² + 10x + 25 ?
5.Développez (3x − 2)².
6.Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul.
0 / 6 questions
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