Maths · Seconde · Nombres et calculs
Ensemble des nombres réels et intervalles
Ranger les nombres, décrire la droite.
En bref
Tous les nombres ne se ressemblent pas. Les classer permet de savoir ce qu'on a le droit de faire avec, et d'écrire proprement les solutions d'une inéquation.
Les ensembles emboîtés
| L'ensemble | Ce qu'il contient | Un exemple |
|---|---|---|
| ℕ | Les entiers naturels | 0, 1, 2, 3 |
| ℤ | Plus les entiers négatifs | −5 |
| ⅅ | Les décimaux : écriture décimale finie | 0,25 |
| ℚ | Les rationnels : quotients de deux entiers | 1/3 |
| ℝ | Plus les irrationnels | √2, π |
Chacun contient le précédent : ℕ ⊂ ℤ ⊂ ⅅ ⊂ ℚ ⊂ ℝ.
On écrit « −5 ∈ ℤ » (−5 appartient à ℤ) et « √2 ∉ ℚ » (√2 n'appartient pas à ℚ). Le symbole ∈ relie un nombre à un ensemble ; le symbole ⊂ relie deux ensembles.
La droite numérique
Chaque réel correspond à un point d'une droite graduée, et réciproquement.
Résoudre une inéquation, ce n'est pas trouver un nombre : c'est décrire une partie de la droite réelle.
Les intervalles
| L'écriture | Ce qu'elle contient |
|---|---|
| [a ; b] | a et b compris |
| ]a ; b[ | a et b exclus |
| [a ; b[ | a compris, b exclu |
| ]−∞ ; b] | Tous les réels inférieurs ou égaux à b |
| [a ; +∞[ | Tous les réels supérieurs ou égaux à a |
Le crochet est toujours ouvert du côté de l'infini : l'infini n'est pas un nombre.
La méthode pour passer d'une inégalité à un intervalle :
- Repérer les bornes : 2 < x ≤ 5 a pour bornes 2 et 5.
- Choisir chaque crochet : inégalité stricte, crochet ouvert ; inégalité large, crochet fermé.
- Écrire la borne la plus petite à gauche : x appartient à ]2 ; 5].
Réunion, intersection, valeur absolue
| Le symbole | Ce qu'il garde |
|---|---|
| L'intersection ∩ | Ce qui appartient aux deux ensembles |
| La réunion ∪ | Ce qui appartient à l'un ou à l'autre |
Exemple : [0 ; 5] ∩ [3 ; 8] = [3 ; 5] et [0 ; 5] ∪ [3 ; 8] = [0 ; 8]. Pour ne pas se tromper, on représente les deux intervalles sur la même droite graduée.
La valeur absolue d'un réel x est sa distance à 0.
| L'inéquation | Sa traduction |
|---|---|
| La valeur absolue de (x − a) est inférieure ou égale à r | x appartient à [a − r ; a + r] |
C'est l'intervalle centré en a, de rayon r.
Plus généralement, la valeur absolue de (x − a) est la distance entre x et a sur la droite. Ainsi |−7| = 7, |3 − 8| = 5.
Exemple résolu
Résoudre |x − 4| ≤ 2.
- On traduit : la distance entre x et 4 est au plus 2.
- Le centre est 4, le rayon 2 : 4 − 2 = 2 et 4 + 2 = 6.
- S = [2 ; 6].
Les erreurs fréquentes
- Fermer un crochet du côté de l'infini : on écrit ]−∞ ; 3], jamais [−∞ ; 3].
- Croire que 1/3 est décimal : son écriture est infinie, il est seulement rationnel.
- Confondre ∩ et ∪ : l'intersection est « et », la réunion est « ou ».
Ces notations serviront toute l'année pour écrire les solutions des inéquations, les ensembles de définition et les intervalles de variation.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Quel ensemble contient tous les autres ?
2.À quel ensemble le nombre √2 appartient-il ?
3.Comment note-t-on l’ensemble des réels strictement compris entre 2 et 5 ?
4.Comment écrit-on l’ensemble des réels inférieurs ou égaux à 3 ?
5.Que vaut |−7| ?
6.L’inéquation |x − 4| ≤ 2 se traduit par un intervalle centré en 4.
0 / 6 questions
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