Maths · Seconde · Nombres et calculs
Les nombres décimaux, rationnels et irrationnels
L’écriture décimale dit tout.
En bref
Un même nombre s'écrit de plusieurs façons.
Un même nombre s'écrit de plusieurs façons. Savoir à quelle famille il appartient évite bien des erreurs de raisonnement.
Les trois familles
| La famille | Sa définition | Son écriture décimale |
|---|---|---|
| Décimal | De la forme a/10ⁿ avec a entier | Finie |
| Rationnel | Quotient de deux entiers | Finie ou périodique |
| Irrationnel | Ni l'un ni l'autre | Infinie et non périodique |
Le développement décimal ne ment pas : fini ou périodique, c'est un rationnel ; infini sans période, c'est un irrationnel.
Reconnaître un décimal
| Le nombre | Est-il décimal | Pourquoi |
|---|---|---|
| 0,25 | Oui | 25/100 |
| 3 | Oui | 3/1 |
| 1/3 | Non | Le dénominateur contient un 3 |
Un quotient d'entiers est décimal si, la fraction étant irréductible, le dénominateur ne contient comme facteurs premiers que 2 et 5.
Exemple : 3/8 = 3/2³ est décimal, et 3/8 = 375/1000 = 0,375. En revanche 7/12 = 7/(2² × 3) ne l'est pas.
Des exemples de rationnels et d'irrationnels
| Le nombre | Son développement |
|---|---|
| 1/3 | 0,333… — période de longueur 1 |
| 1/7 | 0,142857142857… — période de longueur 6 |
| √2, √3, π, le nombre d'or | Infini, sans période |
Exemple résolu : écrire un développement périodique en fraction
Soit x = 0,272727… (la période 27 se répète).
- On multiplie par 100 pour décaler d'une période : 100x = 27,272727…
- On soustrait : 100x − x = 27, donc 99x = 27.
- x = 27/99 = 3/11. Un développement périodique est donc bien un rationnel.
Pourquoi √2 est irrationnel
| L'étape du raisonnement par l'absurde | Ce qu'elle donne |
|---|---|
| On suppose √2 = p/q, fraction irréductible | L'hypothèse |
| On élève au carré : 2q² = p² | p² est pair, donc p est pair |
| On pose p = 2k | 2q² = 4k², donc q² = 2k² |
| q est donc pair aussi | p et q sont tous deux pairs : contradiction avec l'irréductibilité |
Le raisonnement par l'absurde consiste à supposer le contraire de ce qu'on veut prouver, puis à aboutir à une impossibilité. Cette démonstration figure explicitement au programme de Seconde.
Calculer avec les fractions
| L'opération | La règle |
|---|---|
| Additionner | Réduire au même dénominateur |
| Multiplier | Terme à terme |
| Diviser | Multiplier par l'inverse |
Exemples : 2/3 + 1/6 = 4/6 + 1/6 = 5/6 ; 2/3 × 9/4 = 18/12 = 3/2 ; (2/3) ÷ (4/5) = 2/3 × 5/4 = 10/12 = 5/6.
Il est presque toujours plus sûr de garder une valeur exacte — 1/3, √2 — qu'une valeur approchée : les arrondis successifs s'accumulent.
Les erreurs fréquentes
- Croire qu'un « nombre à virgule » est forcément décimal : 0,333… ne l'est pas.
- Additionner numérateurs et dénominateurs : 2/3 + 1/6 n'est pas 3/9.
- Confondre la valeur affichée par la calculatrice (1,414213562) avec √2 lui-même.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
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1.Qu’est-ce qu’un nombre décimal ?
2.Comment reconnaît-on un rationnel à son écriture décimale ?
3.Le nombre 0,142857142857… est-il rationnel ?
4.Quelle est la nature de π ?
5.Comment démontre-t-on que √2 est irrationnel ?
6.La fraction 3/8 correspond à un nombre décimal.
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