Maths · Seconde · Fonctions
La fonction affine
ax + b : une droite, un taux constant.
En bref
Une fonction affine est définie sur ℝ par f(x) = ax + b.
Une fonction affine est définie sur ℝ par f(x) = ax + b. Sa courbe est une droite, et c'est la seule fonction dont l'accroissement est constant.
Coefficients et courbe
| Le coefficient | Ce qu'il est |
|---|---|
| a | Le coefficient directeur |
| b | L'ordonnée à l'origine |
| Le signe de a | Le sens de variation |
|---|---|
| a > 0 | Croissante |
| a < 0 | Décroissante |
| a = 0 | Constante |
Lorsque b = 0, la fonction est dite linéaire : elle traduit une proportionnalité, et sa droite passe par l'origine.
Quand a = 0, f(x) = b pour tout x : la courbe est une droite horizontale.
Le taux d'accroissement
Pour deux valeurs distinctes u et v :
(f(v) − f(u)) / (v − u) = a
C'est la propriété caractéristique : le résultat ne dépend pas de la paire choisie. Une augmentation de 1 de x fait toujours varier f(x) de a.
Démonstration : f(v) − f(u) = (av + b) − (au + b) = a(v − u), et l'on divise par v − u. C'est aussi ce qui prouve le sens de variation : si a > 0 et u < v, alors f(v) − f(u) est positif.
Le prix d'un abonnement avec un forfait fixe et un tarif par unité consommée est une fonction affine. C'est le modèle le plus fréquent de la vie courante.
Déterminer une fonction affine
| L'étape | Le calcul |
|---|---|
| 1 | Calculer a par le taux d'accroissement entre les deux points |
| 2 | Trouver b en réinjectant les coordonnées d'un point |
Deux points suffisent toujours à tracer la droite.
Exemple résolu
f est affine, f(−1) = 7 et f(2) = −2.
- a = (−2 − 7) / (2 − (−1)) = −9 / 3 = −3.
- f(2) = −3 × 2 + b = −2, donc b = 4.
- f(x) = −3x + 4. Contrôle : f(−1) = 3 + 4 = 7.
- f s'annule en x = 4/3 ; comme a < 0, f est positive avant 4/3 et négative après.
Signe et résolution
f(x) = 0 pour x = −b/a, lorsque a est non nul.
| Le signe de a | Avant −b/a | Après −b/a |
|---|---|---|
| a > 0 | f est négative | f est positive |
| a < 0 | f est positive | f est négative |
Exemples : 2x − 6 s'annule en x = 3 ; −2x + 4 s'annule en 2 et elle est négative pour x > 2.
Cette règle sert dans toutes les inéquations produit ou quotient.
Les erreurs fréquentes
- Déduire le sens de variation du signe de b : c'est le signe de a qui compte.
- Calculer a en écrivant les différences dans deux ordres différents.
- Se tromper de signe dans la valeur d'annulation : dans le doute, on la retrouve en résolvant ax + b = 0.
En Première, le coefficient directeur deviendra le nombre dérivé : la tangente à une courbe est la droite d'une fonction affine.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Quelle est la forme d’une fonction affine ?
2.Quand une fonction affine est-elle croissante ?
3.Qu’est-ce qu’une fonction linéaire ?
4.Que vaut le taux d’accroissement d’une fonction affine ?
5.Pour quelle valeur f(x) = 2x − 6 s’annule-t-elle ?
6.Une fonction affine avec a = 0 est constante.
0 / 6 questions
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