Maths · Seconde · Fonctions
La fonction inverse
1/x : l’hyperbole, et le trou en zéro.
En bref
La fonction inverse associe à tout réel non nul x le nombre 1/x.
La fonction inverse associe à tout réel non nul x le nombre 1/x. Elle est la première fonction de l'année dont l'ensemble de définition est troué.
Ensemble de définition
Elle est définie sur ℝ privé de 0, soit :
]−∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[
Diviser par zéro n'a pas de sens : 0 est une valeur interdite.
Variations
| L'intervalle | Le sens |
|---|---|
| ]−∞ ; 0[ | Décroissante |
| ]0 ; +∞[ | Décroissante |
Et surtout pas décroissante sur la réunion des deux. Contre-exemple : −1 est plus petit que 1, mais 1/(−1) = −1 est plus petit que 1/1 = 1.
On ne dit jamais qu'une fonction est décroissante sur une réunion d'intervalles. On énonce ses variations intervalle par intervalle.
Démonstration sur ]0 ; +∞[ : si 0 < a < b, alors 1/b − 1/a = (a − b)/(ab). Le numérateur est négatif, le dénominateur positif : 1/b < 1/a, l'ordre est inversé. Le même calcul vaut sur ]−∞ ; 0[, où ab est encore positif.
Courbe et symétrie
| La propriété | Son contenu |
|---|---|
| La courbe | Une hyperbole, formée de deux branches |
| La parité | Impaire : symétrie par rapport à l'origine |
| Les asymptotes | Les deux axes du repère |
| Le comportement | Ce qui se passe |
|---|---|
| Quand x devient très grand | 1/x se rapproche de 0 sans jamais l'atteindre |
| Quand x se rapproche de 0 | La valeur absolue de 1/x devient arbitrairement grande |
Quelques valeurs : 1/0,1 = 10, 1/0,5 = 2, 1/1 = 1, 1/2 = 0,5, 1/10 = 0,1. La courbe passe par (1 ; 1) et (−1 ; −1).
Signe et résolution
1/x a le signe de x.
| L'équation 1/x = k | Sa solution |
|---|---|
| k non nul | x = 1/k, unique |
| k = 0 | Aucune |
Exemple : 1/x = 4 donne x = 1/4 = 0,25.
Pour une inéquation comme 1/x ≤ 2, on ne multiplie surtout pas par x sans connaître son signe : on passe tout d'un côté et on étudie un tableau de signes.
Exemple résolu : 1/x ≤ 2
- Valeur interdite : 0.
- On passe tout d'un côté : 1/x − 2 ≤ 0, soit (1 − 2x)/x ≤ 0.
- 1 − 2x s'annule en 1/2 (positif avant, négatif après) ; x s'annule en 0 (négatif avant, positif après).
- Le quotient est négatif sur ]−∞ ; 0[, positif sur ]0 ; 1/2[, négatif sur ]1/2 ; +∞[, nul en 1/2.
- S = ]−∞ ; 0[ ∪ [1/2 ; +∞[, avec un crochet ouvert en 0, valeur interdite.
Contrôle : x = −1 donne −1 ≤ 2, vrai ; x = 0,25 donne 4 ≤ 2, faux ; x = 1 donne 1 ≤ 2, vrai.
Les erreurs fréquentes
- Écrire « décroissante sur ℝ privé de 0 ».
- Multiplier une inéquation par x sans connaître son signe.
- Croire que 1/x peut valoir 0.
En physique, les grandeurs inversement proportionnelles (pression et volume d'un gaz à température constante) suivent cette courbe.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
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1.Quel est l’ensemble de définition de la fonction inverse ?
2.Comment varie la fonction inverse ?
3.Comment s’appelle la courbe de la fonction inverse ?
4.La fonction inverse est impaire. Quelle en est la conséquence ?
5.Que devient 1/x quand x devient très grand ?
6.Le signe de 1/x est celui de x.
0 / 6 questions
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