Maths · Seconde · Fonctions
La fonction cube
Croissante partout, et impaire.
En bref
La fonction cube associe à tout réel x le nombre x³.
La fonction cube associe à tout réel x le nombre x³. Son comportement diffère nettement de celui de la fonction carré.
Le contraste avec la fonction carré
| Le point | Carré | Cube |
|---|---|---|
| Variations | Décroissante puis croissante | Croissante sur ℝ tout entier |
| Extremum | Un minimum en 0 | Aucun |
| Parité | Paire : symétrie par rapport à l'axe des ordonnées | Impaire : symétrie par rapport à l'origine |
| Signe | Toujours positif ou nul | Celui de x |
| L'équation = k | 0, 1 ou 2 solutions | Toujours exactement une |
Le cube garde le signe, le carré l'efface. Toute la différence entre les deux fonctions tient dans cette phrase.
Une fonction est impaire quand f(−x) = −f(x) pour tout x : ici (−x)³ = −x³. Sa courbe est alors symétrique par rapport à l'origine du repère.
Variations et ordre
Elle conserve l'ordre : si a < b, alors a³ < b³, quels que soient les signes.
Elle n'a donc ni minimum ni maximum : quand x devient très grand, x³ devient très grand, et quand x devient très négatif, x³ aussi.
Signe
| L'intervalle | Le signe de x³ |
|---|---|
| ]−∞ ; 0[ | Négatif |
| 0 | Nul |
| ]0 ; +∞[ | Positif |
L'équation x³ = k
Elle admet toujours exactement une solution, quel que soit le réel k — y compris négatif.
x³ = −8 donne x = −2.
C'est une différence majeure avec x² = k.
La solution de x³ = k se note parfois « racine cubique de k ». Exemples : x³ = 27 donne x = 3 ; x³ = −27 donne x = −3.
Comparer les puissances
| L'intervalle | L'ordre |
|---|---|
| [0 ; 1] | x³ ≤ x² ≤ x |
| [1 ; +∞[ | x ≤ x² ≤ x³ |
Le point de bascule est 1, où les trois valent 1.
Sur [0 ; 1], élever à une puissance plus grande rapproche de 0. Ce résultat sert dès qu'on compare des grandeurs modélisées par des puissances, en géométrie comme en physique.
Justification : pour x entre 0 et 1, x³ − x² = x²(x − 1) est un produit d'un nombre positif par un nombre négatif, donc x³ ≤ x². Pour x ≥ 1, le même produit est positif.
Exemple résolu
Résoudre x³ ≤ 8, puis comparer 0,5² et 0,5³.
- 8 = 2³ et la fonction cube est croissante : x³ ≤ 2³ équivaut à x ≤ 2, donc S = ]−∞ ; 2].
- 0,5² = 0,25 et 0,5³ = 0,125 : sur [0 ; 1], le cube est plus petit que le carré, comme prévu.
Les erreurs fréquentes
- Croire que x³ = −27 n'a pas de solution, par réflexe du carré.
- Donner deux solutions à x³ = 8 : il n'y en a qu'une, 2.
- Penser que le cube a un minimum en 0 : il passe par 0 en continuant de croître.
Le volume d'un cube d'arête x est x³ : doubler l'arête multiplie le volume par 8.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Sur quel intervalle la fonction cube est-elle croissante ?
2.La fonction cube est impaire. Quelle en est la conséquence graphique ?
3.Combien de solutions a l’équation x³ = −27 ?
4.Quel est le signe de x³ ?
5.Comparez x² et x³ pour x compris entre 0 et 1.
6.Pour x supérieur à 1, x³ est plus grand que x².
0 / 6 questions
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