Maths · Seconde · Fonctions
La fonction racine carrée
Définie seulement sur les positifs.
En bref
La fonction racine carrée associe à tout réel positif x le nombre √x, l'unique réel positif dont le carré vaut x.
Ensemble de définition et variations
| Le point | Sa valeur |
|---|---|
| L'ensemble de définition | [0 ; +∞[ seulement |
| Pourquoi | La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas dans ℝ |
| Le sens de variation | Croissante sur tout l'intervalle |
| Le minimum | 0, atteint en 0 |
Sa courbe part de l'origine et monte en s'aplatissant, sans jamais s'arrêter.
Quelques valeurs pour la tracer : √0 = 0, √1 = 1, √4 = 2, √9 = 3, √16 = 4. Il faut multiplier x par 4 pour doubler √x.
Le lien avec la fonction carré
| L'égalité | Sa condition |
|---|---|
| (√x)² = x | x ≥ 0 |
| √(x²) = x | x ≥ 0 seulement |
| √(x²) = la valeur absolue de x | Pour tout réel |
Sur les positifs, les deux fonctions se défont l'une l'autre : leurs courbes sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x.
Une croissance qui ralentit sans jamais s'arrêter : c'est la forme même de la racine carrée, et la raison de son usage en modélisation.
Exemple : √((−5)²) = √25 = 5, et non −5 : c'est bien la valeur absolue de −5.
Comparer avec x
| L'intervalle | La comparaison |
|---|---|
| [0 ; 1] | x ≤ √x : la racine d'un nombre entre 0 et 1 est plus grande que lui |
| [1 ; +∞[ | √x ≤ x |
Les points d'égalité sont 0 et 1.
Exemple : √0,25 = 0,5, plus grand que 0,25 ; √9 = 3, plus petit que 9.
Résoudre
| L'équation | Ses solutions |
|---|---|
| √x = k, avec k < 0 | Aucune |
| √x = k, avec k ≥ 0 | x = k² |
Une équation contenant une racine se résout en élevant au carré — mais cette opération peut créer des solutions parasites. Il faut toujours vérifier les valeurs trouvées dans l'équation de départ.
La méthode :
- Écrire la condition d'existence : ce qui est sous la racine doit être positif ou nul.
- Vérifier le signe de l'autre membre : une racine ne peut pas égaler un nombre négatif.
- Élever au carré et résoudre.
- Contrôler chaque valeur dans l'équation de départ.
Exemples résolus
- √x = 5 : k = 5 est positif, donc x = 25.
- √x = −3 : une racine est toujours positive ou nulle, il n'y a aucune solution.
- √x ≤ 3 : la fonction est croissante et 3 = √9, donc 0 ≤ x ≤ 9, S = [0 ; 9].
Les erreurs fréquentes
- Oublier que l'ensemble de définition commence à 0.
- Écrire √(x²) = x sans condition.
- Croire que √x est toujours plus petit que x : c'est faux entre 0 et 1.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Quel est l’ensemble de définition de la fonction racine carrée ?
2.Comment varie la fonction racine carrée ?
3.Que vaut √(x²) pour un réel x quelconque ?
4.Comparez √x et x pour x compris entre 0 et 1.
5.Quelle est la solution de √x = 5 ?
6.Les courbes des fonctions carré et racine carrée sont symétriques par rapport à la droite y = x sur les positifs.
0 / 6 questions
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