Maths · Seconde · Fonctions
La fonction carré
Une parabole, un minimum en 0.
En bref
La fonction carré associe à tout réel x le nombre x².
La fonction carré associe à tout réel x le nombre x². Elle est définie sur ℝ tout entier, et sa courbe s'appelle une parabole.
Variations
| L'intervalle | Le sens |
|---|---|
| ]−∞ ; 0] | Décroissante |
| [0 ; +∞[ | Croissante |
Elle atteint donc un minimum égal à 0, en x = 0. Ce point est le sommet de la parabole.
Démonstration sur [0 ; +∞[ : si 0 ≤ a < b, alors b² − a² = (b − a)(b + a), produit de deux nombres positifs, donc a² < b². Sur ]−∞ ; 0], le même calcul donne un produit négatif : l'ordre s'inverse.
Symétrie et signe
| La propriété | Sa raison |
|---|---|
| Elle est paire | (−x)² = x² : la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées |
| Elle est positive ou nulle | Un carré n'est jamais négatif |
Passer au carré ne conserve pas l'ordre : −3 est plus petit que 2, mais 9 est plus grand que 4. C'est l'erreur la plus fréquente de l'année.
Ce qu'on peut dire à coup sûr : si 0 ≤ a < b, alors a² < b² ; si a < b ≤ 0, alors a² > b². Quand a et b sont de signes contraires, on ne peut rien conclure sans calcul.
Résoudre x² = k
| La valeur de k | Les solutions |
|---|---|
| k < 0 | Aucune |
| k = 0 | Une seule : x = 0 |
| k > 0 | Deux : √k et −√k |
x² = 25 donne donc x = 5 ou x = −5.
Oublier la solution négative est une faute classique.
Résoudre des inéquations
| L'inéquation | Sa solution |
|---|---|
| x² ≤ 9 | [−3 ; 3] |
| x² > 9 | ]−∞ ; −3[ ∪ ]3 ; +∞[ |
Le tracé de la parabole et de la droite horizontale rend ces résultats immédiats.
La méthode :
- Tracer l'allure de la parabole et la droite y = k.
- Placer les points d'intersection, d'abscisses −√k et √k (si k > 0).
- Lire où la parabole est au-dessous (pour ≤) ou au-dessus (pour ≥) de la droite.
- Écrire la solution en intervalle, avec des crochets fermés pour une inégalité large.
Exemples résolus
- x² = 16 : k = 16 > 0, deux solutions, S = {−4 ; 4}.
- x² = −4 : un carré n'est jamais négatif, S est vide.
- x² ≥ 5 : la parabole est au-dessus de y = 5 en dehors de [−√5 ; √5], donc S = ]−∞ ; −√5] ∪ [√5 ; +∞[.
- Encadrer x² si −2 ≤ x ≤ 3 : on coupe en deux intervalles. Sur [−2 ; 0], x² va de 4 à 0 ; sur [0 ; 3], de 0 à 9. Donc 0 ≤ x² ≤ 9.
Les erreurs fréquentes
- Écrire « a < b donc a² < b² » sans regarder les signes.
- Oublier −√k.
- Encadrer x² en élevant directement les bornes au carré : −2 ≤ x ≤ 3 ne donne pas 4 ≤ x² ≤ 9.
En Première, la parabole reviendra avec les fonctions du second degré : elles ont toutes la même forme, décalée et étirée.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Sur quel intervalle la fonction carré est-elle décroissante ?
2.Quel est le minimum de la fonction carré ?
3.Comment s’appelle la courbe de la fonction carré ?
4.La fonction carré est paire. Que signifie cette propriété ?
5.Combien de solutions a l’équation x² = 16 ?
6.L’équation x² = −4 admet des solutions réelles.
0 / 6 questions
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