Maths complémentaires · Terminale · Analyse
Fonctions, dérivées et optimisation
Le signe de f′ donne le maximum.
En bref
L’optimisation est l’usage le plus concret de la dérivation : quel prix maximise la recette ?
L’optimisation est l’usage le plus concret de la dérivation : quel prix maximise la recette ? quelles dimensions minimisent le coût ?
Le nombre dérivé
f'(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse a. Il mesure la vitesse de variation instantanée de la fonction en ce point.
Les dérivées à connaître
| Fonction | Sa dérivée |
|---|---|
| x puissance n | n × x puissance (n−1) |
| exp(x) | exp(x) |
| ln(x) | 1/x |
| u × v | u'v + uv' |
| u/v | (u'v − uv') / v² |
Le signe de la dérivée
| Si f' est… | Alors f est… |
|---|---|
| Positive sur un intervalle | Croissante sur cet intervalle |
| Négative sur un intervalle | Décroissante sur cet intervalle |
| Nulle en changeant de signe | À un extremum local |
| Nulle sans changer de signe | À un point d’inflexion, pas à un extremum |
Une dérivée nulle ne suffit jamais à conclure à un extremum : la fonction cube a une dérivée nulle en 0 et y reste strictement croissante. C’est le changement de signe qui fait l’extremum, pas l’annulation.
La méthode d’optimisation
- Exprimer la grandeur à optimiser en fonction d’une seule variable.
- Préciser l’intervalle sur lequel le problème a un sens (une longueur est positive).
- Dériver, puis étudier le signe de la dérivée.
- Conclure par un tableau de variations.
- Vérifier que la solution trouvée est concrètement acceptable — un optimum mathématique hors de l’intervalle ne vaut rien.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Que représente f’(a) géométriquement ?
2.Si f’ est positive sur un intervalle, f y est croissante.
3.Quelle est la dérivée de ln(x) ?
4.Une dérivée qui s’annule garantit un extremum.
5.Quelle est la dérivée de exp(x) ?
6.La dérivée d’un produit u×v vaut…
0 / 6 questions
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