Maths complémentaires · Terminale · Analyse
Suites numériques, modèles discrets et limites
Que devient la suite à long terme ?
En bref
En mathématiques complémentaires, une suite n’est jamais un objet abstrait : c’est le modèle d’une grandeur qui évolue par étapes — une population, un capital, une concentration.
Les deux modes de définition
| Mode | Ce qu’il donne | Son intérêt |
|---|---|---|
| Explicite | u(n) en fonction de n | On calcule n’importe quel terme sans les précédents |
| Par récurrence | u(n+1) en fonction de u(n), plus un premier terme | Il traduit naturellement une évolution |
Les deux modèles de référence
| Arithmétique | Géométrique | |
|---|---|---|
| La relation | u(n+1) = u(n) + r | u(n+1) = q × u(n) |
| L’évolution | Par ajout constant | Par multiplication constante |
| Le terme général | u(n) = u(0) + n r | u(n) = u(0) × qⁿ |
| La croissance | Linéaire | Exponentielle |
Une augmentation de t % correspond à une suite géométrique de raison q = 1 + t/100. Deux hausses successives de 10 % ne font pas 20 % mais 21 %, car 1,1 × 1,1 = 1,21.
Le modèle arithmético-géométrique
u(n+1) = a u(n) + b : le plus utile en modélisation. Il décrit toute évolution combinant un taux (a) et un apport ou prélèvement fixe (b) — un capital qui rapporte des intérêts et reçoit un versement annuel, une population qui croît et subit une émigration constante.
La méthode de résolution, systématiquement attendue :
- Chercher le point fixe c, solution de c = a c + b, soit c = b/(1 − a) pour a différent de 1 ;
- Poser v(n) = u(n) − c : la suite v est géométrique de raison a ;
- Conclure : u(n) = (u(0) − c) × aⁿ + c.
Les limites
| Suite | La condition | La limite |
|---|---|---|
| Géométrique | −1 < q < 1 | 0 |
| Géométrique | q > 1 | +∞ |
| Géométrique | q inférieur ou égal à −1 | Pas de limite |
| Arithmétique | r non nul | ±∞ selon le signe de r |
| Arithmético-géométrique | a compris strictement entre −1 et 1 | Le point fixe c, quelle que soit la valeur initiale |
Le dernier cas est l’interprétation la plus demandée : le système s’installe dans un état d’équilibre, indépendant de son point de départ.
Le théorème de la limite monotone
Une suite croissante et majorée converge ; une suite décroissante et minorée converge.
Il garantit l’existence de la limite, pas sa valeur.
Le seuil
« À partir de quel rang la population dépasse-t-elle 10 000 ? »
| Méthode | Quand l’employer |
|---|---|
| Le logarithme | Quand la suite est géométrique |
| Un algorithme de seuil | Une boucle qui incrémente tant que la condition n’est pas atteinte — souvent la seule possible |
Devant un énoncé, la première question est toujours : l’évolution ajoute une quantité fixe, la multiplie par un taux, ou les deux ? La réponse désigne le modèle.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Quelle suite modélise une augmentation de t % à chaque étape ?
2.Comment résout-on u(n+1) = a u(n) + b ?
3.Que vaut le point fixe de u(n+1) = a u(n) + b, pour a ≠ 1 ?
4.Vers quoi converge une suite arithmético-géométrique quand |a| < 1 ?
5.Quelle est la limite de qⁿ pour q > 1 ?
6.Une suite croissante et majorée converge.
0 / 6 questions
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