Maths complémentaires · Terminale · Analyse
Suites et modèles d’évolution
Ajouter, multiplier, ou les deux ?
En bref
Une suite décrit une grandeur qui évolue par étapes : une population, un capital, une dose de médicament.
Une suite décrit une grandeur qui évolue par étapes : une population, un capital, une dose de médicament. Reconnaître le bon modèle, c’est déjà avoir fait la moitié de l’exercice.
Arithmétique ou géométrique ?
| Arithmétique | Géométrique | |
|---|---|---|
| Ce qu’on fait à chaque étape | On ajoute toujours la même quantité | On multiplie toujours par le même nombre |
| Relation de récurrence | u(n+1) = u(n) + r | u(n+1) = q × u(n) |
| Terme général | u(n) = u(0) + n × r | u(n) = u(0) × q puissance n |
| Le cas typique | Un versement fixe chaque mois | Une évolution en pourcentage |
Évolution en pourcentage
Une hausse de t % correspond à une multiplication par le coefficient multiplicateur 1 + t/100 ; une baisse, par 1 − t/100.
Deux évolutions successives se composent en multipliant les coefficients, jamais en additionnant les pourcentages. Deux hausses de 10 % donnent 1,1 × 1,1 = 1,21, soit +21 % et non +20 %.
| Évolution | Coefficient | Le piège |
|---|---|---|
| +10 % | 1,1 | |
| −10 % | 0,9 | |
| +10 % puis −10 % | 1,1 × 0,9 = 0,99 | On ne revient pas au point de départ |
Comportement à long terme
Pour une suite géométrique de raison q strictement positive :
| Valeur de q | Comportement de la suite |
|---|---|
| q > 1 | Elle croît sans limite |
| q = 1 | Elle est constante |
| 0 < q < 1 | Elle tend vers 0 |
Suites arithmético-géométriques
Du type u(n+1) = a × u(n) + b. La méthode est toujours la même :
- Chercher le point fixe L tel que L = a × L + b.
- Poser v(n) = u(n) − L, et montrer que v est géométrique de raison a.
- En déduire v(n), puis u(n) = v(n) + L.
C’est le modèle d’un capital avec versements réguliers, ou d’une population avec migration constante.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Une suite géométrique de raison 0,8 tend vers…
2.Une hausse de 20 % correspond à un coefficient multiplicateur de…
3.Deux hausses successives de 10 % équivalent à une hausse de 20 %.
4.Quel est le terme général d’une suite arithmétique ?
5.Une baisse de 25 % se traduit par un coefficient multiplicateur de 0,75.
6.Pour une suite u(n+1) = a·u(n) + b, on introduit la suite…
0 / 6 questions
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La fiche de révision, sur une page
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