Maths complémentaires · Terminale · Analyse
Continuité de fonctions
Passe-t-elle forcément par cette valeur ?
En bref
La continuité sert ici à un usage précis : garantir qu’un modèle atteint une valeur donnée, et permettre d’en chercher le moment.
La définition
f est continue en a si sa limite en a existe et vaut f(a). Elle est continue sur un intervalle si elle l’est en chacun de ses points.
Intuitivement : la courbe se trace sans lever le crayon.
Ce qui est continu, ce qui ne l’est pas
| Continu | Discontinu — donc hors théorèmes |
|---|---|
| Polynômes, fonctions rationnelles, racine carrée | Un tarif postal par tranche de poids |
| Exponentielle, logarithme | Un nombre d’individus |
| Sommes, produits, quotients (dénominateur non nul), composées | Un impôt par tranche, au moment du seuil |
Une fonction dérivable est continue — la réciproque est fausse.
Reconnaître qu’un modèle est discret fait partie de la lecture d’un énoncé, et interdit d’appliquer les théorèmes qui suivent.
Le théorème des valeurs intermédiaires
Si f est continue sur l’intervalle des bornes a et b, alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l’équation f(x) = k admet au moins une solution.
Une grandeur qui varie continûment de 12 à 40 prend nécessairement toutes les valeurs intermédiaires. Elle passe forcément par 25.
Le cas strictement monotone
Si f est de plus strictement monotone, la solution est unique — c’est ce qui permet de parler du « moment où » la grandeur atteint un seuil, au singulier.
| L’élément de rédaction | Pourquoi il est noté |
|---|---|
| La continuité | Elle donne l’existence |
| La stricte monotonie | Elle donne l’unicité |
| L’encadrement de k entre les valeurs aux bornes | Il rend le théorème applicable |
Chercher la solution
Le théorème prouve l’existence sans donner la valeur.
| Méthode | Son principe |
|---|---|
| Le balayage | Évaluer de proche en proche, avec un pas décroissant |
| La dichotomie | Couper l’intervalle en deux, garder la moitié où le signe change — la précision double à chaque étape |
Les deux s’écrivent en algorithme, ce que l’épreuve demande régulièrement.
L’usage typique
« À partir de quelle année la production dépasse-t-elle 500 tonnes ? » On montre la continuité et la stricte croissance, on encadre 500 entre les valeurs aux bornes, on conclut à l’existence et à l’unicité, puis on cherche une valeur approchée.
Le théorème donne l’existence, la monotonie l’unicité, l’algorithme la valeur. Trois étapes distinctes, qu’une bonne copie ne mélange jamais.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Quand une fonction est-elle continue en a ?
2.Que garantit le théorème des valeurs intermédiaires ?
3.Quelle hypothèse ajoute l’unicité de la solution ?
4.Une fonction dérivable est-elle continue ?
5.Un tarif postal par tranche de poids est modélisé par une fonction continue.
6.Quelle méthode approche une solution en divisant l’intervalle en deux à chaque étape ?
0 / 6 questions
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