Maths complémentaires · Terminale · Analyse
Fonction logarithme népérien (ln)
La fonction des seuils.
En bref
Le logarithme sert ici à deux choses très concrètes : résoudre quand l’inconnue est en exposant, et lire des grandeurs qui s’étalent sur plusieurs puissances de dix.
La définition
Pour x > 0, ln(x) est l’unique réel y tel que e^y = x : le logarithme est la fonction réciproque de l’exponentielle.
e^(ln x) = x pour x > 0, et ln(e^x) = x pour tout réel x
Il n’est défini que sur l’intervalle des réels strictement positifs. Condition d’existence à vérifier avant tout calcul.
Les propriétés algébriques
| Propriété | Ce qu’elle transforme |
|---|---|
| ln(ab) = ln a + ln b | Un produit en somme |
| ln(a/b) = ln a − ln b | Un quotient en différence |
| ln(a^n) = n ln a | Un exposant en facteur |
Le piège : ln(a + b) n’est pas ln a + ln b. Valeurs de référence : ln(1) = 0 et ln(e) = 1.
L’étude de la fonction
| Propriété | Sa valeur |
|---|---|
| Dérivée | 1/x |
| Sens de variation | Strictement croissante |
| Convexité | Concave |
| Limite en 0 par valeurs positives | −∞ |
| Limite en +∞ | +∞, mais lentement : ln(x)/x tend vers 0 |
Pour une fonction u strictement positive : (ln u)′ = u′/u.
Usage n° 1 — les seuils
Toute question « à partir de quelle année », « au bout de combien de temps » sur un modèle géométrique se résout par le logarithme.
Un capital placé à 4 % double quand 1,04^n est supérieur ou égal à 2, soit n supérieur ou égal à ln(2)/ln(1,04), c’est-à-dire 17,7 — donc au bout de 18 ans.
L’arrondi se fait toujours dans le sens qui respecte l’inégalité, jamais au plus proche. C’est l’erreur la plus fréquente du chapitre.
Usage n° 2 — les échelles logarithmiques
Décibels, magnitude d’un séisme, pH : ces échelles compressent des grandeurs étalées sur plusieurs puissances de dix.
Une augmentation d’une unité y correspond à une multiplication de la grandeur physique, pas à une addition. Sur un graphique en échelle logarithmique, une droite signale une croissance exponentielle, pas linéaire.
Usage n° 3 — la linéarisation
Une suite géométrique devient arithmétique par le logarithme : ln(u(n)) = ln(u(0)) + n ln(q).
C’est le moyen de repérer un modèle exponentiel sur des données réelles : si le nuage des ln s’aligne, le modèle est exponentiel.
Dès qu’une inconnue apparaît en exposant, le logarithme est le seul outil du programme qui la fasse descendre.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Sur quel ensemble la fonction ln est-elle définie ?
2.Que vaut ln(ab) pour a et b strictement positifs ?
3.Comment résout-on 1,04^n ≥ 2 ?
4.On trouve n ≥ 17,7 pour une question de seuil. Quelle réponse donner ?
5.Quelle est la dérivée de ln(x) ?
6.Sur une échelle logarithmique, une augmentation d’une unité correspond à…
0 / 6 questions
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